x in [0, 1] के लिए int_0^x frac{t^2}{1+t^4} d | vedclass

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Question

(A) माना $f(x) = \int_0^x \frac{t^2}{1+t^4} dt - 2x + 1$,जहाँ $x \in [0, 1]$ है।अवकलन करने पर,$f'(x) = \frac{x^2}{1+x^4} - 2$ प्राप्त होता है।$AM$-$GM

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$1$

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(A) माना $f(x) = \int_0^x \frac{t^2}{1+t^4} dt - 2x + 1$,जहाँ $x \in [0, 1]$ है।अवकलन करने पर,$f'(x) = \frac{x^2}{1+x^4} - 2$ प्राप्त होता है।$AM$-$GM$ असमिका के अनुसार $x^4 + 1 \geq 2x^2$ होता है,इसलिए $\frac{x^2}{1+x^4} \leq \frac{1}{2}$ है।अतः,$f'(x) = \frac{x^2}{1+x^4} - 2 \leq \frac{1}{2} - 2 = -\frac{3}{2} सभी $x \in [0, 1]$ के लिए $f'(x) अंत बिंदुओं का मूल्यांकन करने पर:$f(0) = \int_0^0 \frac{t^2}{1+t^4} dt - 2(0) + 1 = 1$ है।$f(1) = \int_0^1 \frac{t^2}{1+t^4} dt - 2(1) + 1 = \int_0^1 \frac{t^2}{1+t^4} dt - 1$ है।चूँकि $t \in [0, 1]$ के लिए $\frac{t^2}{1+t^4} चूँकि $f(0) > 0$ और $f(1) < 0$ है तथा $f(x)$ सतत और निरंतर ह्रासमान है,'Intermediate Value Theorem' के अनुसार $[0, 1]$ में $f(x) = 0$ का ठीक एक मूल $x$ विद्यमान है।

$x \in [0, 1]$ के लिए $\int_0^x \frac{t^2}{1+t^4} dt = 2x - 1$ को संतुष्ट करने वाले भिन्न $x$ की कुल संख्या क्या है?

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समीकरण $\int_1^e \frac{(\log_e x)^{1/2}}{x(a-(\log_e x)^{3/2})^2} dx = 1$ पर विचार करें,जहाँ $a \in (-\infty, 0) \cup (1, \infty)$ है। निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन $TRUE$ है/हैं?

मान लीजिए $f_n = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left(\sum_{k=1}^n \sin^{k-1} x\right) \left(\sum_{k=1}^n (2k-1) \sin^{k-1} x\right) \cos x \, dx$,जहाँ $n \in N$ है। तो $f_{21} - f_{20}$ का मान $...........$ है।

निश्चित समाकलन $\int_{0}^{a} \sqrt{\frac{x}{a-x}} \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि ${I_1} = \int_0^1 {2^{x^2}} dx$,${I_2} = \int_0^1 {2^{x^3}} dx$,${I_3} = \int_1^2 {2^{x^2}} dx$,और ${I_4} = \int_1^2 {2^{x^3}} dx$ है,तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

यदि $(n - m)$ विषम है और $|m| \ne |n|,$ तो $\int_0^\pi {\cos mx \sin nx} \,dx$ का मान क्या है?

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