जब निर्देशांक अक्षों को मूल बिंदु के परितः धनात्मक दिशा में $\operatorname{Tan}^{-1}(2)$ के कोण पर घुमाया जाता है,तो $3x^2 - 4xy = r^2$ का रूपांतरित समीकरण क्या होगा?

जब अक्षों को $\frac{\pi}{4}$ कोण पर घुमाया जाता है,तो $x^2+6xy+8y^2=10$ का रूपांतरित समीकरण क्या होगा?

जब निर्देशांक अक्षों को मूलबिंदु को स्थानांतरित किए बिना वामावर्त दिशा में $\frac{\pi}{4}$ कोण से घुमाया जाता है,यदि समीकरण $x^2+y^2-2x-4y-20=0$ नई निर्देशांक प्रणाली में $ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0$ में परिवर्तित हो जाता है,तो $\left|\begin{array}{lll}a & h & g \\ h & b & f \\ g & f & c\end{array}\right|=$

जब निर्देशांक अक्षों को मूल बिंदु के परितः $\tan^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)$ कोण से घुमाया जाता है,तो समीकरण $x^2+y^2=9$ किस समीकरण में परिवर्तित हो जाता है?

यदि बिंदु $P(1,3)$ क्रमिक रूप से निम्नलिखित परिवर्तनों से गुजरता है:
$(i)$ रेखा $y=x$ के सापेक्ष परावर्तन।
(ii) $X$-अक्ष की धनात्मक दिशा में $3$ इकाई का स्थानांतरण।
(iii) मूल बिंदु के परितः घड़ी की दिशा में $\frac{\pi}{6}$ कोण पर घूर्णन।
तो,बिंदु $P$ की अंतिम स्थिति है:

मूलबिंदु को $(1,2)$ पर स्थानांतरित किया जाता है। पुरानी प्रणाली में बिंदु $(7,5)$ क्रमिक रूप से निम्नलिखित परिवर्तनों से गुजरता है।
$I$. मूलबिंदु के दिए गए स्थानांतरण के तहत नए बिंदु पर जाता है।
$II$. नई $X$-अक्ष की ऋणात्मक दिशा में $2$ इकाई स्थानांतरित होता है।
$III$. नई प्रणाली के मूलबिंदु के चारों ओर दक्षिणावर्त दिशा में $\frac{\pi}{4}$ कोण पर घुमाया जाता है। बिंदु $(7,5)$ की अंतिम स्थिति क्या है?