वक्र f(x) = x^2 + bx - b के बिंदु (1, 1) पर स | vedclass

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Question

(C) दिया गया वक्र $f(x) = x^2 + bx - b$ है। चूँकि बिंदु $(1, 1)$ वक्र पर स्थित है,इसलिए $1 = 1^2 + b(1) - b$,जो $1 = 1$ है,यह पुष्टि करता है कि बिंदु

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$-3$

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(C) दिया गया वक्र $f(x) = x^2 + bx - b$ है। चूँकि बिंदु $(1, 1)$ वक्र पर स्थित है,इसलिए $1 = 1^2 + b(1) - b$,जो $1 = 1$ है,यह पुष्टि करता है कि बिंदु किसी भी $b$ के लिए वक्र पर है।सबसे पहले,अवकलज ज्ञात करें: $\frac{dy}{dx} = 2x + b$.बिंदु $(1, 1)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m = 2(1) + b = 2 + b$ है।$(1, 1)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y - 1 = (2 + b)(x - 1)$ है।सरल करने पर,$y - 1 = (2 + b)x - (2 + b)$,जो $(2 + b)x - y = 1 + b$ देता है।अंतःखंड ज्ञात करने के लिए,$y = 0$ रखने पर $x = \frac{1 + b}{2 + b}$ (बिंदु $A$) और $x = 0$ रखने पर $y = -(1 + b)$ (बिंदु $B$) प्राप्त होता है।चूँकि त्रिभुज प्रथम चतुर्थांश में स्थित है,अंतःखंड धनात्मक होने चाहिए: $\frac{1 + b}{2 + b} > 0$ और $-(1 + b) > 0$.इसका अर्थ है $1 + b त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} 	imes |OA| 	imes |OB| = \frac{1}{2} 	imes \left| \frac{1 + b}{2 + b} ight| 	imes |-(1 + b)| = 2$ है।चूँकि $b  0$ और $-(1 + b) > 0$.अतः,$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 + b}{2 + b} \cdot (-(1 + b)) = 2$.$-(1 + b)^2 = 4(2 + b) \Rightarrow -(1 + 2b + b^2) = 8 + 4b \Rightarrow b^2 + 6b + 9 = 0$.$(b + 3)^2 = 0$,इसलिए $b = -3$. यह $b < -2$ को संतुष्ट करता है।

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