જો તમામ વાસ્તવિક $x$ માટે સદિશો $\vec{a} = cxi - 6j + 3k$ અને $\vec{b} = xi + 2j + 2cxk$ ગુરુકોણ બનાવતા હોય, તો $c$ ની કિંમત શોધો:

ધારો કે $\bar{a}$ અને $\bar{b}$ બે સદિશો છે જેથી $|\bar{a}|=|\bar{b}|$ અને $|\bar{a}+2 \bar{b}|=|2 \bar{a}-\bar{b}|$. જો $\bar{c}$ એ $\bar{a}$ ને સમાંતર સદિશ હોય, તો $\bar{b}$ અને $\bar{c}$ વચ્ચેનો ખૂણો કેટલો થાય ($^{\circ}$ માં)?

સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ ની બે પાસપાસેની બાજુઓ $\overrightarrow{AB} = 2\hat{i} + 10\hat{j} + 11\hat{k}$ અને $\overrightarrow{AD} = -\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$ દ્વારા આપવામાં આવી છે. બાજુ $AD$ ને સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના સમતલમાં લઘુકોણ $\alpha$ દ્વારા ફેરવવામાં આવે છે જેથી $AD$ એ $AD'$ બને છે. જો $AD'$ એ બાજુ $AB$ સાથે કાટખૂણો બનાવે,તો ખૂણા $\alpha$ નો કોસાઇન (cosine) શું થાય?

જો $a = 3i - j + 2k$ અને $b = 2i + j - k$ હોય,તો $a \times (a \cdot b)$ ની કિંમત શોધો.

જો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ બે સદિશો એવા હોય કે જેથી $|\vec{a}|=3, |\vec{b}|=4, |\vec{a}+\vec{b}|=\sqrt{37}, |\vec{a}-\vec{b}|=k$ અને $\vec{a}$ તથા $\vec{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ હોય, તો $\frac{4}{13}(k \sin \theta)^2$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $a = 2i - j + k$,$b = i + 2j - k$ અને $c = i + j - 2k$ ત્રણ સદિશો છે. $b$ અને $c$ ના સમતલમાં આવેલો સદિશ જેનો $a$ પરનો પ્રક્ષેપ $\sqrt{2/3}$ માન ધરાવે છે તે શોધો.