સદિશ $a$ જે સદિશો $i$ અને $j$ સાથે સમતલીય છે, અને સદિશ $b = 4i - 3j + 5k$ ને લંબ છે, જેથી $|a| = |b|$ થાય, તે સદિશ શોધો.

$\vec{a}=3 \hat{i}+2 \hat{j}+5 \hat{k}$ અને $\vec{b}=7 \hat{i}-5 \hat{j}-\hat{k}$ હોય,તો $\vec{b}$ નો $\vec{a}$ પરનો સદિશ પ્રક્ષેપ શોધો.

બે સદિશો $\overrightarrow{u} = 3\hat{i} - \hat{j}$ અને $\overrightarrow{v} = 2\hat{i} + \hat{j} - \lambda\hat{k}$ ધ્યાનમાં લો,જ્યાં $\lambda > 0$. તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\cos^{-1}\left(\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{7}}\right)$ છે. ધારો કે $\vec{v} = \vec{v}_1 + \vec{v}_2$,જ્યાં $\vec{v}_1$ એ $\overrightarrow{u}$ ને સમાંતર છે અને $\vec{v}_2$ એ $\overrightarrow{u}$ ને લંબ છે. તો $|\vec{v}_1|^2 + |\vec{v}_2|^2$ નું મૂલ્ય કેટલું થાય?

$ABC$ એક કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેમાં $\max \{AB, BC, AC\} = BC$ છે. જો $B$ અને $C$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $3\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}$ અને $5\hat{i}+\hat{j}-3\hat{k}$ હોય,તો $AB \cdot AC + BA \cdot BC + CA \cdot CB$ ની કિંમત શોધો.

જો $\hat{a}$ એક એકમ સદિશ હોય કે જેથી $(\bar{x}-\hat{a}) \cdot (\bar{x}+\hat{a}) = 8$ થાય,તો $|\bar{x}| = $

જો $P$ અને $Q$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $\hat{i}+2 \hat{j}-7 \hat{k}$ અને $5 \hat{i}-3 \hat{j}+4 \hat{k}$ હોય, તો $\overrightarrow{PQ}$ અને $z$-અક્ષ વચ્ચેના ખૂણાનો કોસાઇન (cosine) શોધો.