एक घन का आयतन 8 , cm^{3}/s की दर से बढ़ रहा ह | vedclass

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Question

(A) माना $x$ किनारे की लंबाई है,$V$ आयतन है और $S$ घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल है।हम जानते हैं कि $V = x^{3}$ और $S = 6x^{2}$ होता है।दिया गया है कि आयतन

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{8}{3} \, cm^{2}/s$

Vedclass · Answer

(A) माना $x$ किनारे की लंबाई है,$V$ आयतन है और $S$ घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल है।हम जानते हैं कि $V = x^{3}$ और $S = 6x^{2}$ होता है।दिया गया है कि आयतन के परिवर्तन की दर $\frac{dV}{dt} = 8 \, cm^{3}/s$ है।श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए,$\frac{dV}{dt} = \frac{d}{dt}(x^{3}) = 3x^{2} \cdot \frac{dx}{dt}$।दिए गए मानों को रखने पर: $8 = 3x^{2} \cdot \frac{dx}{dt} \implies \frac{dx}{dt} = \frac{8}{3x^{2}}$।अब,पृष्ठीय क्षेत्रफल के परिवर्तन की दर $\frac{dS}{dt} = \frac{d}{dt}(6x^{2}) = 12x \cdot \frac{dx}{dt}$ है।पिछले चरण से $\frac{dx}{dt}$ का मान रखने पर: $\frac{dS}{dt} = 12x \cdot \left(\frac{8}{3x^{2}}\right) = \frac{32}{x}$।जब किनारे की लंबाई $x = 12 \, cm$ है,तो पृष्ठीय क्षेत्रफल के परिवर्तन की दर $\frac{dS}{dt} = \frac{32}{12} = \frac{8}{3} \, cm^{2}/s$ होगी।

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