एक वृत्त की दो समान जीवाएँ $AB$ और $CD$ बढ़ाने पर बिंदु $P$ पर प्रतिच्छेद करती हैं। सिद्ध कीजिए कि $PB = PD$ है।

(N/A) दिया है: $AB$ और $CD$ केंद्र $O$ वाले एक वृत्त की दो समान जीवाएँ हैं जो बढ़ाने पर $P$ पर प्रतिच्छेद करती हैं।
सिद्ध करना है: $PB = PD$.
रचना: $OR \perp AB$ और $OQ \perp CD$ खींचिए। $OP$ को मिलाइए।
उपपत्ति: चूँकि $OR \perp AB$ और $OQ \perp CD$ वृत्त के केंद्र $O$ से हैं,
इसलिए,$R$,$AB$ का मध्य-बिंदु है और $Q$,$CD$ का मध्य-बिंदु है।
[चूँकि केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है]
चूँकि $AB = CD$ [दिया है],
इसलिए,$\frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} CD$.
इसलिए,$AR = CQ$ और $RB = QD$ $...(1)$
चूँकि $AB = CD$,इसलिए $OR = OQ$ $...(2)$
[चूँकि समान जीवाएँ केंद्र से समान दूरी पर होती हैं]
अब,समकोण त्रिभुज $\Delta ORP$ और $\Delta OQP$ में:
$\angle ORP = \angle OQP$ [प्रत्येक $90^{\circ}$]
कर्ण $OP = $ कर्ण $OP$ [उभयनिष्ठ भुजा]
$OR = OQ$ [$(2)$ से]
$\Delta ORP \cong \Delta OQP$ [$R$.$H$.$S$. सर्वांगसमता नियम द्वारा]
$RP = QP$ [$CPCT$ द्वारा] $...(3)$
अब,$(3)$ में से $(1)$ को घटाने पर:
$RP - RB = QP - QD$
$PB = PD$
इति सिद्धम्।