બે કણો,$1$ અને $2$,દરેકનું દળ $m$ છે,જે એક દળરહિત સ્પ્રિંગ દ્વારા જોડાયેલા છે અને આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ એક સમક્ષિતિજ ઘર્ષણરહિત સપાટી પર છે. શરૂઆતમાં,બંને કણો,જેમનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $x_0$ પર છે,તે $a$ કંપવિસ્તાર અને $\omega$ કોણીય આવૃત્તિ સાથે દોલન કરે છે. તેથી,સમય $t$ પર તેમના સ્થાન $x_1(t) = (x_0 + d) + a \sin \omega t$ અને $x_2(t) = (x_0 - d) - a \sin \omega t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $d > 2a$. $m$ દળનો કણ $3$,$u_0 = a \omega / 2$ ઝડપ સાથે આ તંત્ર તરફ ગતિ કરે છે અને સમય $t_0$ પર કણ $2$ સાથે ત્વરિત સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ અનુભવે છે. અંતે,કણો $1$ અને $2$ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની ઝડપ $v_{cm}$ પ્રાપ્ત કરે છે અને સમાન કોણીય આવૃત્તિ સાથે $b$ કંપવિસ્તારથી દોલન કરે છે.
$(1)$ જો અથડામણ સમય $t_0 = 0$ પર થાય,તો $v_{cm} / (a \omega)$ નું મૂલ્ય કેટલું હશે?
$(2)$ જો અથડામણ સમય $t_0 = \pi / (2 \omega)$ પર થાય,તો $4b^2 / a^2$ નું મૂલ્ય કેટલું હશે?

• A
  $0.75, 4.30$
• B
  $0.75, 4.25$
• C
  $0.75, 4.35$
• D
  $0.75, 4.40$