$M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली पृथ्वी की सतह से $m$ द्रव्यमान के उपग्रह को $2R$ की ऊँचाई पर प्रक्षेपित करने के लिए आवश्यक न्यूनतम ऊर्जा क्या है?

एक पिंड को पृथ्वी की त्रिज्या $(R)$ के बराबर ऊँचाई से छोड़ा जाता है। पृथ्वी की सतह से टकराते समय पिंड का वेग क्या होगा? (दिया गया है $g$ = पृथ्वी पर गुरुत्वीय त्वरण।)

$1 \, kg$ द्रव्यमान की एक वस्तु को पृथ्वी की सतह से पृथ्वी की त्रिज्या के तीन गुना ऊँचाई पर ले जाया जाता है। वस्तु की स्थितिज ऊर्जा में वृद्धि $.... \, MJ$ होगी [दिया है: $g = 10 \, m/s^2$ और पृथ्वी की त्रिज्या $R = 6400 \, km$].

एक रॉकेट को पृथ्वी की सतह से $5 \; km/s$ की गति से ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर प्रक्षेपित किया जाता है। पृथ्वी पर वापस लौटने से पहले रॉकेट पृथ्वी की सतह से कितनी दूर जाएगा? (पृथ्वी का द्रव्यमान $M_e = 6.0 \times 10^{24} \; kg$,पृथ्वी की औसत त्रिज्या $R_e = 6.4 \times 10^{6} \; m$,$G = 6.67 \times 10^{-11} \; N m^2 kg^{-2}$)

एक पिंड को $\sqrt{\frac{G M}{R}}$ की गति से ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर प्रक्षेपित किया जाता है ($M$ पृथ्वी का द्रव्यमान है और $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है)। पिंड कितनी अधिकतम ऊँचाई प्राप्त करेगा?

दो ग्रहों के द्रव्यमान $M$ और $16\, M$ हैं और उनकी त्रिज्याएँ क्रमशः $a$ और $2\, a$ हैं। ग्रहों के केंद्रों के बीच की दूरी $10\, a$ है। $m$ द्रव्यमान के एक पिंड को बड़े ग्रह की सतह से छोटे ग्रह की ओर उनके केंद्रों को जोड़ने वाली रेखा के अनुदिश फेंका जाता है। पिंड के छोटे ग्रह की सतह तक पहुँचने के लिए आवश्यक न्यूनतम प्रक्षेपण गति क्या है?