$R$ ત્રિજ્યા અને $\rho$ ઘનતા ધરાવતા નક્કર ગોળાની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા (moment of inertia) કેટલી થાય?

આકૃતિ એક પાતળી ધાતુની ત્રિકોણાકાર શીટ $ABC$ દર્શાવે છે. શીટનું દળ $M$ છે. બાજુ $AC$ ને અનુલક્ષીને શીટની જડત્વની ચાકમાત્રા કેટલી થાય?

$L$ લંબાઈના પાતળા સળિયા $AB$ ની રેખીય દળ ઘનતા $A$ થી $B$ સુધી $\lambda(x) = \lambda_{0}(1 + \frac{x}{L})$ મુજબ બદલાય છે,જ્યાં $x$ એ $A$ થી અંતર છે. જો $M$ એ સળિયાનું દળ હોય,તો $A$ માંથી પસાર થતી અને સળિયાને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને તેની જડત્વની ચાકમાત્રા $......ML^{2}$ છે.

એક વ્યક્તિ ફરતી ટેબલ પર પોતાના હાથ ફેલાવીને બેઠી છે. જો તે અચાનક તેના હાથ અંદરની તરફ ખેંચે,તો:

સમાન દ્રવ્યમાંથી બનેલી $R$ અને $nR$ ત્રિજ્યા ધરાવતી બે રીંગની તેમના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રાનો ગુણોત્તર $1:8$ છે. $n$ નું મૂલ્ય શોધો (એકમ લંબાઈ દીઠ દળ $= \lambda$).

સમાન દળ અને ત્રિજ્યા ધરાવતો એક નક્કર ગોળો અને એક નક્કર નળાકાર સમક્ષિતિજ સપાટી પર સરક્યા વિના ગબડે છે. તેમની ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર $(k_{\text{sph}} : k_{\text{cyl}})$ અનુક્રમે $2 : \sqrt{x}$ હોય,તો $x$ નું મૂલ્ય ............. છે.