$52$ ताश के पत्तों की एक गड्डी से $4$ पत्ते चुनने के कितने तरीके हैं? इनमें से कितने तरीकों में दो लाल पत्ते और दो काले पत्ते होंगे?

मान लीजिए $n$ और $k$ ऐसे धनात्मक पूर्णांक हैं कि $n \ge \frac{k(k + 1)}{2}$ है। $x_1 + x_2 + ... + x_k = n$ को संतुष्ट करने वाले $(x_1, x_2, ..., x_k)$ हलों की संख्या ज्ञात कीजिए,जहाँ $x_1 \ge 1, x_2 \ge 2, ..., x_k \ge k$ सभी पूर्णांक हैं।

एक परीक्षक $8$ प्रश्नों को $30$ अंक कितने तरीकों से आवंटित कर सकता है,यदि प्रत्येक प्रश्न को कम से कम $2$ अंक देना अनिवार्य है?

एक चुनाव में,एक मतदाता उम्मीदवारों की किसी भी संख्या के लिए वोट कर सकता है,जो चुने जाने वाले उम्मीदवारों की संख्या से अधिक न हो। कुल $10$ उम्मीदवार हैं और $4$ का चयन किया जाना है। यदि एक मतदाता कम से कम एक उम्मीदवार को वोट देता है,तो वह कितने तरीकों से वोट दे सकता है?

मान लीजिए $S = \{1, 2, 3, \ldots, 9\}$ है। $k = 1, 2, \ldots, 5$ के लिए,$N_k$ को $S$ के उन उपसमुच्चयों की संख्या के रूप में परिभाषित करें,जिनमें पाँच तत्व हैं और जिनमें से ठीक $k$ विषम हैं। तो $N_1 + N_2 + N_3 + N_4 + N_5 =$

यदि $1 \times 1! + 2 \times 2! + 3 \times 3! + \ldots + n \times n! = 11! - 1$ है,तो ${}^n C_r$ का अधिकतम मान क्या है?