निम्नलिखित में से किस रैखिक समीकरण युग्म का अद्वितीय हल,कोई हल नहीं,या अपरिमित रूप से अनेक हल हैं? यदि अद्वितीय हल है,तो उसे वज्र-गुणन विधि (cross-multiplication method) का उपयोग करके ज्ञात कीजिए।
$x - 3y - 7 = 0$
$3x - 3y - 15 = 0$

(A) दिए गए समीकरण हैं:
$x - 3y - 7 = 0$ ... $(1)$
$3x - 3y - 15 = 0$ ... $(2)$
$a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ से तुलना करने पर:
$a_1 = 1, b_1 = -3, c_1 = -7$
$a_2 = 3, b_2 = -3, c_2 = -15$
अनुपातों की गणना:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{3}, \quad \frac{b_1}{b_2} = \frac{-3}{-3} = 1, \quad \frac{c_1}{c_2} = \frac{-7}{-15} = \frac{7}{15}$
चूंकि $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ (अर्थात $\frac{1}{3} \neq 1$),इसलिए निकाय का एक अद्वितीय हल है।
वज्र-गुणन विधि का उपयोग करने पर:
$\frac{x}{b_1c_2 - b_2c_1} = \frac{y}{c_1a_2 - c_2a_1} = \frac{1}{a_1b_2 - a_2b_1}$
$\frac{x}{(-3)(-15) - (-3)(-7)} = \frac{y}{(-7)(3) - (-15)(1)} = \frac{1}{(1)(-3) - (3)(-3)}$
$\frac{x}{45 - 21} = \frac{y}{-21 + 15} = \frac{1}{-3 + 9}$
$\frac{x}{24} = \frac{y}{-6} = \frac{1}{6}$
$x$ के लिए: $\frac{x}{24} = \frac{1}{6} \implies x = \frac{24}{6} = 4$
$y$ के लिए: $\frac{y}{-6} = \frac{1}{6} \implies y = \frac{-6}{6} = -1$
अतः,अद्वितीय हल $x = 4, y = -1$ है।