निम्नलिखित में से कौन सा वक्र प्रारंभिक मान समस्या $Dy = 100 - y$ का समाधान दर्शाता है,जहाँ $y(0) = 50$ है?

$\frac{d^2y}{dx^2} = \cos x - \sin x$ का हल है

वह वक्र जो अवकल समीकरण $(1 + y^2) dx - xy\, dy = 0$ को संतुष्ट करता है और बिंदु $(1, 0)$ से होकर गुजरता है,उसकी नाभियाँ (foci) क्या हैं?

उन सभी वृत्तों के परिवार पर विचार करें जिनके केंद्र सीधी रेखा $y = x$ पर स्थित हैं। यदि वृत्तों के इस परिवार को अवकल समीकरण $P y^{\prime \prime} + Q y^{\prime} + 1 = 0$ द्वारा दर्शाया जाता है,जहाँ $P, Q$ $x, y$ और $y^{\prime}$ के फलन हैं (यहाँ $y^{\prime} = \frac{dy}{dx}, y^{\prime \prime} = \frac{d^2y}{dx^2}$),तो निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है?
$(A) P = y + x$
$(B) P = y - x$
$(C) P + Q = 1 - x + y + y^{\prime} + (y^{\prime})^2$
$(D) P - Q = x + y - y^{\prime} - (y^{\prime})^2$

यदि $x = \int_{-y}^{y} \frac{dt}{\sqrt{1 + 9t^2}}$ और $\frac{d^2y}{dx^2} = ky$ है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

वक्र $y=y(x)$ पर किसी भी बिंदु $(x, y), x > 0, y > 0$ पर अभिलंब की ढाल $\frac{x^{2}}{x y-x^{2} y^{2}-1}$ द्वारा दी गई है। यदि वक्र बिंदु $(1, 1)$ से होकर गुजरता है,तो $e \cdot y(e)$ का मान ज्ञात कीजिए।