Linear inequalities for Multiple Lines Questions in Gujarati

(D) આપેલ અસમતા: $\frac{14x}{x+1} - \frac{9x-30}{x-4} < 0$
છેદ સમાન કરીને સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{14x(x-4) - (9x-30)(x+1)}{(x+1)(x-4)} < 0$
$\frac{14x^2 - 56x - (9x^2 - 21x - 30)}{(x+1)(x-4)} < 0$
$\frac{5x^2 - 35x + 30}{(x+1)(x-4)} < 0$
$5$ વડે ભાગતા:
$\frac{x^2 - 7x + 6}{(x+1)(x-4)} < 0$
અંશના અવયવ પાડતા:
$\frac{(x-1)(x-6)}{(x+1)(x-4)} < 0$
વેવી કર્વ પદ્ધતિ (ચિહ્ન યોજના) નો ઉપયોગ કરીને, નિર્ણાયક બિંદુઓ $-1, 1, 4, 6$ છે.
આ પદાવલિ $(-1, 1)$ અને $(4, 6)$ અંતરાલમાં ઋણ છે.
તેથી, $x \in (-1, 1) \cup (4, 6)$.

(C) $1$. છાયાંકિત પ્રદેશની સીમા રેખાઓ ઓળખો:
- $(1, 0)$ અને $(0, 2)$ માંથી પસાર થતી રેખા: સમીકરણ $\frac{x}{1} + \frac{y}{2} = 1$ છે, જે $2x + y = 2$ માં સરળ થાય છે. છાયાંકિત પ્રદેશ આ રેખાની ઉપર હોવાથી, અસમતા $2x + y \geq 2$ છે.
- $(1, 0)$ અને $(0, -1)$ માંથી પસાર થતી રેખા: સમીકરણ $y - 0 = \frac{-1 - 0}{0 - 1}(x - 1)$ છે, જે $y = x - 1$ અથવા $x - y = 1$ માં સરળ થાય છે. છાયાંકિત પ્રદેશ આ રેખાની ડાબી બાજુએ હોવાથી, અસમતા $x - y \leq 1$ છે.
- $(0, 4)$ અને $(4, 0)$ માંથી પસાર થતી રેખા (છેદબિંદુ $B(10/3, 7/3)$ દ્વારા): રેખા $x + 2y = 8$ છે. છાયાંકિત પ્રદેશ આ રેખાની નીચે હોવાથી, અસમતા $x + 2y \leq 8$ છે.
$2$. આને $x \geq 0, y \geq 0$ સાથે જોડતા, આપણને સિસ્ટમ મળે છે: $2x + y \geq 2, x - y \leq 1, x + 2y \leq 8, x \geq 0, y \geq 0$।
$3$. આ વિકલ્પ $C$ સાથે મેળ ખાય છે.

(B) પગલું $1$: સીમા રેખાઓ ઓળખો.
રેખા $1$: $y - x = 2$ ($(0, 2)$ અને $(-2, 0)$ માંથી પસાર થાય છે).
રેખા $2$: $x + y = 5$ ($(0, 5)$ અને $(5, 0)$ માંથી પસાર થાય છે).
રેખા $3$: $x = 0$ ($y$-અક્ષ).
રેખા $4$: $y = 0$ ($x$-અક્ષ).
પગલું $2$: શક્ય ઉકેલ પ્રદેશ નક્કી કરો.
પ્રદેશ $y - x \geq 2$ એ રેખા $y = x + 2$ ની ઉપર આવેલો છે.
પ્રદેશ $x + y \leq 5$ એ રેખા $x + y = 5$ ની નીચે આવેલો છે.
પ્રદેશ $x \geq 0$ અને $y \geq 0$ એ પ્રથમ ચરણ છે.
પગલું $3$: છેદબિંદુઓ શોધો.
$y - x = 2$ અને $x + y = 5$ નું છેદબિંદુ: સમીકરણોનો સરવાળો કરતા $2y = 7$, તેથી $y = 3.5$ મળે. પછી $x = 1.5$ મળે. બિંદુ $(1.5, 3.5)$ છે.
$y - x = 2$ અને $x = 0$ નું છેદબિંદુ $(0, 2)$ છે.
$x + y = 5$ અને $x = 0$ નું છેદબિંદુ $(0, 5)$ છે.
પગલું $4$: આ પ્રદેશ $(0, 2)$, $(0, 5)$, અને $(1.5, 3.5)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતો ત્રિકોણ છે. આ પ્રદેશ આ રેખાઓ દ્વારા ઘેરાયેલો હોવાથી, તે સીમિત છે.

(C) $1$. છાયાંકિત પ્રદેશની સીમા રેખાઓ ઓળખો:
- $(0, 2)$ અને $(1, 0)$ માંથી પસાર થતી રેખા: સમીકરણ $\frac{x}{1} + \frac{y}{2} = 1 \implies 2x + y = 2$ છે। છાયાંકિત પ્રદેશ રેખાની ઉપર હોવાથી, અસમતા $2x + y \geq 2$ છે.
- $(1, 0)$ અને $(10/3, 7/3)$ માંથી પસાર થતી રેખા: ઢાળ $m = \frac{7/3 - 0}{10/3 - 1} = \frac{7/3}{7/3} = 1$ છે। સમીકરણ $y - 0 = 1(x - 1) \implies x - y = 1$ છે। છાયાંકિત પ્રદેશ રેખાની ડાબી બાજુએ હોવાથી, અસમતા $x - y \leq 1$ છે.
- $(0, 4)$ અને $(10/3, 7/3)$ માંથી પસાર થતી રેખા: ઢાળ $m = \frac{7/3 - 4}{10/3 - 0} = \frac{-5/3}{10/3} = -1/2$ છે। સમીકરણ $y - 4 = -1/2(x - 0) \implies 2y - 8 = -x \implies x + 2y = 8$ છે। છાયાંકિત પ્રદેશ રેખાની નીચે હોવાથી, અસમતા $x + 2y \leq 8$ છે.
$2$. અ-ઋણ પ્રતિબંધો $x \geq 0, y \geq 0$ છે.
$3$. આ બધાને જોડતા, સિસ્ટમ $2x + y \geq 2, x - y \leq 1, x + 2y \leq 8, x \geq 0, y \geq 0$ મળે છે. જે વિકલ્પ $C$ સાથે સુસંગત છે.