Capillary Tube and Capillarity Questions in Hindi

(D) मान लीजिए कि केशनली का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल $A$ है।
प्रारंभ में, नली $p_{0}$ दबाव और $V = lA$ आयतन वाली हवा से भरी है।
जब नली को $x$ लंबाई तक डुबोया जाता है, तो हवा $(l-x)$ लंबाई में संकुचित हो जाती है। मान लीजिए नया दबाव $p^{\prime}$ है।
बॉयल के नियम का उपयोग करते हुए: $p_{0}(lA) = p^{\prime}(l-x)A$, जिससे $p^{\prime} = \frac{p_{0}l}{l-x}$ प्राप्त होता है।
चूंकि केशनली के अंदर और बाहर पानी का स्तर समान है, मेनिस्कस पर दबाव का अंतर यंग-लाप्लास समीकरण द्वारा दिया जाता है: $p^{\prime} - p_{0} = \frac{2\gamma}{r}$।
$p^{\prime}$ का मान रखने पर: $\frac{p_{0}l}{l-x} - p_{0} = \frac{2\gamma}{r}$।
$p_{0} \left( \frac{l}{l-x} - 1 \right) = \frac{2\gamma}{r} \implies p_{0} \left( \frac{l - l + x}{l-x} \right) = \frac{2\gamma}{r}$।
$\frac{p_{0}x}{l-x} = \frac{2\gamma}{r} \implies p_{0}xr = 2\gamma l - 2\gamma x$।
$x(p_{0}r + 2\gamma) = 2\gamma l$।
$x = \frac{2\gamma l}{p_{0}r + 2\gamma} = \frac{l}{\frac{p_{0}r}{2\gamma} + 1} = \frac{l}{1 + \frac{p_{0}r}{2\gamma}}$।

(D) केश नली में द्रव स्तंभ की ऊँचाई का सूत्र $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ होता है।
मुक्त रूप से गिरते हुए प्लेटफॉर्म में, प्रभावी गुरुत्वीय त्वरण $g_{eff}$ शून्य हो जाता है क्योंकि प्रणाली भारहीनता की स्थिति में होती है।
जैसे-जैसे $g_{eff} \to 0$ होता है, ऊँचाई $h$ अनंत की ओर प्रवृत्त होती है $(h \propto \frac{1}{g_{eff}})$।
हालाँकि, द्रव केश नली की भौतिक लंबाई से ऊपर नहीं बढ़ सकता है।
इसलिए, पानी केश नली की पूरी लंबाई तक भर जाएगा, जो कि $20 cm$ है।

(A) केशिका उन्नयन का सूत्र $h = \frac{2T \cos \theta}{\rho g r}$ द्वारा दिया जाता है।
यह मानते हुए कि दोनों द्रवों के लिए संपर्क कोण $\theta$ समान है और घनत्व $\rho$ बराबर है, हमारे पास $h \propto \frac{1}{r}$ है।
चूंकि $r_1 > r_2$ दिया गया है, इसलिए $\frac{1}{r_1} < \frac{1}{r_2}$ होगा।
अतः, $h_1 < h_2$ प्राप्त होता है।
चूंकि प्रश्न में $T_1 = T_2$ दिया गया है, इसलिए सही संबंध $h_1 < h_2$ और $T_1 = T_2$ है।

(D) केशिका नली में द्रव की ऊँचाई $h$ का सूत्र: $h = \frac{2T \cos \theta}{\rho gr}$ है।
यह मानते हुए कि संपर्क कोण $\theta$ और गुरुत्वीय त्वरण $g$ स्थिर रहते हैं, सापेक्ष परिवर्तन: $\frac{\Delta h}{h} = \frac{\Delta T}{T} - \frac{\Delta \rho}{\rho} - \frac{\Delta r}{r}$ होगा।
दिया गया है कि $T$, $\rho$, और $r$ प्रत्येक $1\%$ कम हो जाते हैं, इसलिए $\frac{\Delta T}{T} = -0.01$, $\frac{\Delta \rho}{\rho} = -0.01$, और $\frac{\Delta r}{r} = -0.01$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{\Delta h}{h} = (-0.01) - (-0.01) - (-0.01) = -0.01 + 0.01 + 0.01 = +0.01$ प्राप्त होता है।
अतः, ऊँचाई में $+1\%$ का परिवर्तन होगा।

(B) केशिका नली में पानी के मेनिस्कस (meniscus) पर दबाव का अंतर यंग-लाप्लास समीकरण द्वारा दिया जाता है: $\Delta P = 2T/R_{eff}$.
यहाँ, केशिका स्थान की प्रभावी त्रिज्या नली और तार के बीच का अंतर है, जो $R_{eff} = R - r$ है।
संतुलन पर, दबाव का अंतर '$h$' ऊँचाई के पानी के स्तंभ के हाइड्रोस्टेटिक दबाव को संतुलित करता है: $\Delta P = h\rho g$.
दोनों समीकरणों को बराबर करने पर: $2T/(R-r) = h\rho g$.
'$h$' के लिए हल करने पर: $h = 2T/((R-r)\rho g)$.

(B) केशिका उन्नयन (capillary rise) का सूत्र $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ है।
चूंकि $h, T, r$ और $g$ तीनों द्रवों के लिए स्थिर हैं, इसलिए $\cos \theta \propto \rho$ प्राप्त होता है।
चूंकि घनत्व $\rho_1 > \rho_2 > \rho_3$ है, इसलिए $\cos \theta_1 > \cos \theta_2 > \cos \theta_3$ होगा।
चूंकि $0^\circ$ से $90^\circ$ के बीच कोसाइन फलन एक घटता हुआ फलन है, इसलिए कोसाइन का मान जितना अधिक होगा, कोण उतना ही छोटा होगा।
अतः, संपर्क कोणों के बीच का संबंध $\theta_1 < \theta_2 < \theta_3$ है।

(A) केशिका नली में पानी के चढ़ने की ऊँचाई का सूत्र: $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ है, जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव, $\rho$ घनत्व और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
इससे स्पष्ट है कि $h \propto \frac{1}{r}$।
यदि त्रिज्या $xr$ हो जाती है, तो नई ऊँचाई $h' = \frac{h}{x}$ होगी।
केशिका नली में पानी का द्रव्यमान $m = V \cdot \rho = (\pi r^2 h) \cdot \rho$ होता है।
द्रव्यमान के सूत्र में $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ रखने पर:
$m = \pi r^2 \left( \frac{2T \cos \theta}{r \rho g} \right) \rho = \frac{2 \pi r T \cos \theta}{g}$।
अतः, $m \propto r$ है।
यदि त्रिज्या $r$ से बदलकर $xr$ हो जाती है, तो नया द्रव्यमान $m' = x \cdot m$ होगा।

(D) केशिका नली में द्रव जिस ऊंचाई $h$ तक चढ़ता है, उसका सूत्र है:
$h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$
जहाँ:
$T$ द्रव का पृष्ठ तनाव है,
$\theta$ संपर्क कोण है,
$\rho$ द्रव का घनत्व है,
$g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
किसी दिए गए द्रव और केशिका नली के पदार्थ के लिए, $T$, $\theta$, $\rho$ और $g$ नियतांक हैं।
इसलिए, $h \propto \frac{1}{r}$, जिसका अर्थ है $h \cdot r = \text{नियतांक}$।
अतः, विभिन्न केशिकाओं के लिए, $h_n r_n = \text{नियतांक}$ होगा।

(A) केशिका नली में द्रव के चढ़ने की ऊँचाई $h$ का सूत्र है: $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$, जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है, $\theta$ संपर्क कोण है, $r$ केशिका की त्रिज्या है, $\rho$ द्रव का घनत्व है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
इस सूत्र से, हम देख सकते हैं कि $h \propto \frac{1}{r}$ है।
केशिका नली का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ होता है, जिसका अर्थ है $r = \sqrt{\frac{A}{\pi}}$, इसलिए $r \propto \sqrt{A}$।
इसे ऊँचाई के संबंध में प्रतिस्थापित करने पर, हमें $h \propto \frac{1}{\sqrt{A}}$ प्राप्त होता है।
चूँकि नया क्षेत्रफल $A' = \frac{A}{3}$ है, इसलिए नई ऊँचाई $h'$ होगी:
$h' = h \times \sqrt{\frac{A}{A'}} = 3 \times \sqrt{\frac{A}{A/3}} = 3 \times \sqrt{3} = 3\sqrt{3}$ cm.

(B) केशिका उन्नयन (capillary rise) $h$ का सूत्र $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ है, जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है, $\theta$ संपर्क कोण है, $r$ केशिका की त्रिज्या है, $\rho$ द्रव का घनत्व है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
चूँकि $h, T, r$ और $g$ तीनों द्रवों के लिए समान हैं, इसलिए $\cos \theta \propto \rho$ का संबंध प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $\rho_1 < \rho_2 < \rho_3$, अतः $\cos \theta_1 < \cos \theta_2 < \cos \theta_3$ होगा।
चूँकि कोसाइन फलन $0^\circ$ से $90^\circ$ के बीच एक घटता हुआ फलन है, इसलिए छोटा कोसाइन मान बड़े कोण के संगत होता है।
अतः, $\theta_1 > \theta_2 > \theta_3$ होगा।

(B) केश नली में द्रव जिस ऊँचाई '$h$' तक चढ़ता है, उसका सूत्र है: $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$, जहाँ '$T$' पृष्ठ तनाव है,'$\theta$' संपर्क कोण है,'$r$' केश नली की त्रिज्या है,'$\rho$' द्रव का घनत्व है और '$g$' गुरुत्वीय त्वरण है।
इस सूत्र से, हम देख सकते हैं कि $h \propto \frac{1}{r}$।
अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल '$a$' का मान $a = \pi r^2$ होता है, जिसका अर्थ है $r = \sqrt{\frac{a}{\pi}}$, इसलिए $r \propto \sqrt{a}$।
इसे ऊँचाई के संबंध में प्रतिस्थापित करने पर, हमें $h \propto \frac{1}{\sqrt{a}}$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए क्षेत्रफल $a_1 = a$ के लिए $h_1 = h$ है, और क्षेत्रफल $a_2 = 4a$ के लिए ऊँचाई $h_2$ है।
अतः, $\frac{h_2}{h_1} = \sqrt{\frac{a_1}{a_2}} = \sqrt{\frac{a}{4a}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$।
इसलिए, $h_2 = \frac{h}{2}$।

(C) केशिकीय नली में द्रव स्तंभ की ऊँचाई का सूत्र $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ है, जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है, $\theta$ संपर्क कोण है, $r$ नली की त्रिज्या है, $\rho$ द्रव का घनत्व है, और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
मुक्त रूप से गिरती हुई लिफ्ट में, प्रभावी गुरुत्वीय त्वरण $g_{\text{eff}} = g - a$ होता है। चूँकि लिफ्ट मुक्त रूप से गिर रही है, $a = g$, इसलिए $g_{\text{eff}} = 0$ होगा।
चूँकि $h \propto \frac{1}{g_{\text{eff}}}$, जब $g_{\text{eff}} = 0$ होता है, तो ऊँचाई $h$ अनंत की ओर प्रवृत्त होती है।
हालाँकि, पानी तब तक ऊपर चढ़ेगा जब तक वह केशिकीय नली के ऊपरी सिरे तक नहीं पहुँच जाता। चूँकि नली $30 \text{ cm}$ लंबी है, इसलिए जल स्तंभ पूरी नली को भर देगा।