$2 \cdot {}^{20}C_0 + 5 \cdot {}^{20}C_1 + 8 \cdot {}^{20}C_2 + 11 \cdot {}^{20}C_3 + \dots + 62 \cdot {}^{20}C_{20}$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\sum_{r=0}^{10} {}^{40-r} C_5$ का मान ज्ञात कीजिए।

$(3x-1)^{15}$ के विस्तार में $x^r$ (जहाँ $r=0, 1, 2, \ldots, 15$) के गुणांकों का योग निम्नलिखित में से किस विस्तार के द्विपद गुणांकों के योग के बराबर है?
$(a)\ (1+x)^{15}$
$(b)\ (1+x)^{16}+(1-x)^{16}$
$(c)\ (1+x)^{16}-(1-x)^{16}$

$2 \le r \le n$ के लिए,$\binom{n}{r} + 2\binom{n}{r-1} + \binom{n}{r-2}$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\sum\limits_{K = 1}^{12} {12K \cdot {^{12}C_K} \cdot {^{11}C_{K - 1}}} $ का मान $\frac{{12 \times 21 \times 19 \times 17 \times \dots \times 3}}{{11!}} \times {2^{12}} \times p$ के बराबर है,तो $p$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $n$ एक धनात्मक पूर्णांक है, तो $(2n+1) ^nC_0 + (2n-1) ^nC_1 + (2n-3) ^nC_2 + \ldots + 1 \cdot ^nC_n$ का मान क्या है?