$(a)$ લંબ અક્ષોના પ્રમેયને સાબિત કરો. (સૂચના: $x-y$ સમતલમાં આવેલા બિંદુ $(x, y)$ નું ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી અને સમતલને લંબ અક્ષથી અંતરનો વર્ગ $x^{2}+y^{2}$ છે)
$(b)$ સમાંતર અક્ષોના પ્રમેયને સાબિત કરો. (સૂચના: જો $n$ કણોની સિસ્ટમનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ઉગમબિંદુ તરીકે પસંદ કરવામાં આવે,તો $\sum m_{i} r_{i}=0$)

(N/A) લંબ અક્ષોનો પ્રમેય જણાવે છે કે સમતલીય પદાર્થ (લેમિના) ની તેના સમતલને લંબ અક્ષ પરની જડત્વની ચાકમાત્રા,તે અક્ષને છેદતી અને પદાર્થના સમતલમાં રહેલી બે પરસ્પર લંબ અક્ષો પરની જડત્વની ચાકમાત્રાઓના સરવાળા જેટલી હોય છે.
ધારો કે $O$ કેન્દ્ર ધરાવતો એક ભૌતિક પદાર્થ છે અને $x-y$ સમતલમાં $(x, y)$ પર $m$ દળનો એક બિંદુવત કણ છે.
$x$-અક્ષ પરની જડત્વની ચાકમાત્રા,$I_{x} = m y^{2}$.
$y$-અક્ષ પરની જડત્વની ચાકમાત્રા,$I_{y} = m x^{2}$.
$z$-અક્ષ પરની જડત્વની ચાકમાત્રા,$I_{z} = m(x^{2} + y^{2})$.
આમ,$I_{x} + I_{y} = m y^{2} + m x^{2} = m(x^{2} + y^{2}) = I_{z}$.
આમ,પ્રમેય સાબિત થાય છે.
$(b)$ સમાંતર અક્ષોનો પ્રમેય જણાવે છે કે કોઈપણ અક્ષ પર પદાર્થની જડત્વની ચાકમાત્રા,તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી સમાંતર અક્ષ પરની જડત્વની ચાકમાત્રા અને પદાર્થના કુલ દળ તથા બે સમાંતર અક્ષો વચ્ચેના અંતરના વર્ગના ગુણાકારના સરવાળા જેટલી હોય છે.
ધારો કે એક દ્રઢ પદાર્થ $n$ કણોનો બનેલો છે,જેમના દળ $m_{1}, m_{2}, \dots, m_{n}$ છે અને દ્રઢ પદાર્થના દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $O$ થી તેમના લંબ અંતર અનુક્રમે $r_{1}, r_{2}, \dots, r_{n}$ છે.
બિંદુ $O$ માંથી પસાર થતી અક્ષ $RS$ પરની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{RS} = \sum m_{i} r_{i}^{2}$ છે.
અક્ષ $QP$ થી દળ $m_{i}$ નું લંબ અંતર $(a + r_{i})$ છે.
તેથી,અક્ષ $QP$ પરની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{QP} = \sum m_{i}(a + r_{i})^{2} = \sum m_{i}(a^{2} + r_{i}^{2} + 2 a r_{i}) = \sum m_{i} a^{2} + \sum m_{i} r_{i}^{2} + 2 a \sum m_{i} r_{i}$ છે.
ઉગમબિંદુ એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર હોવાથી,$\sum m_{i} r_{i} = 0$.
વળી,$\sum m_{i} = M$,જ્યાં $M$ એ દ્રઢ પદાર્થનું કુલ દળ છે.
તેથી,$I_{QP} = M a^{2} + I_{RS}$.
આમ,પ્રમેય સાબિત થાય છે.