$(a)$ लंब अक्षों के प्रमेय को सिद्ध कीजिए। (संकेत: $x-y$ तल में एक बिंदु $(x, y)$ की मूल बिंदु से गुजरने वाली और तल के लंबवत अक्ष से दूरी का वर्ग $x^{2}+y^{2}$ है)
$(b)$ समांतर अक्षों के प्रमेय को सिद्ध कीजिए। (संकेत: यदि $n$ कणों के निकाय के द्रव्यमान केंद्र को मूल बिंदु माना जाए,तो $\sum m_{i} r_{i}=0$)

(N/A) लंब अक्षों का प्रमेय बताता है कि किसी समतलीय पिंड (पटल) की उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण,उस अक्ष को काटने वाली और पिंड के तल में स्थित दो लंबवत अक्षों के परितः जड़त्व आघूर्णों के योग के बराबर होता है।
मान लीजिए $O$ केंद्र वाला एक भौतिक पिंड है और $x-y$ तल में $(x, y)$ पर $m$ द्रव्यमान का एक बिंदु कण है।
$x$-अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण,$I_{x} = m y^{2}$.
$y$-अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण,$I_{y} = m x^{2}$.
$z$-अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण,$I_{z} = m(x^{2} + y^{2})$.
अतः,$I_{x} + I_{y} = m y^{2} + m x^{2} = m(x^{2} + y^{2}) = I_{z}$.
इस प्रकार,प्रमेय सिद्ध होता है।
$(b)$ समांतर अक्षों का प्रमेय बताता है कि किसी पिंड का किसी भी अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण,उसके द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली समांतर अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण और पिंड के कुल द्रव्यमान तथा दोनों समांतर अक्षों के बीच की दूरी के वर्ग के गुणनफल के योग के बराबर होता है।
मान लीजिए कि एक दृढ़ पिंड $n$ कणों से बना है,जिनके द्रव्यमान $m_{1}, m_{2}, \dots, m_{n}$ हैं और दृढ़ पिंड के द्रव्यमान केंद्र $O$ से उनकी लंबवत दूरियाँ क्रमशः $r_{1}, r_{2}, \dots, r_{n}$ हैं।
बिंदु $O$ से गुजरने वाली अक्ष $RS$ के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{RS} = \sum m_{i} r_{i}^{2}$ है।
अक्ष $QP$ से द्रव्यमान $m_{i}$ की लंबवत दूरी $(a + r_{i})$ है।
इसलिए,अक्ष $QP$ के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{QP} = \sum m_{i}(a + r_{i})^{2} = \sum m_{i}(a^{2} + r_{i}^{2} + 2 a r_{i}) = \sum m_{i} a^{2} + \sum m_{i} r_{i}^{2} + 2 a \sum m_{i} r_{i}$ है।
चूंकि मूल बिंदु द्रव्यमान केंद्र है,इसलिए $\sum m_{i} r_{i} = 0$ है।
साथ ही,$\sum m_{i} = M$,जहाँ $M$ दृढ़ पिंड का कुल द्रव्यमान है।
इसलिए,$I_{QP} = M a^{2} + I_{RS}$.
इस प्रकार,प्रमेय सिद्ध होता है।