एक बेलनाकार पात्र में एक मोल आदर्श गैस पर विचार करें जो $P-V$ आरेख में दिखाए गए पथ का अनुसरण करती है। यह प्रक्रिया $PV^{1/2} = \text{नियतांक}$ का पालन करती है।
$(a)$ गैस को अवस्था $1$ से अवस्था $2$ तक ले जाने में किया गया कार्य ज्ञात कीजिए।
$(b)$ यदि $V_2 = 2V_1$ है, तो तापमान का अनुपात $\frac{T_1}{T_2}$ क्या होगा?
$(c)$ तापमान $T$ पर एक मोल गैस की आंतरिक ऊर्जा $\frac{3}{2}RT$ है। गैस को अवस्था $1$ से अवस्था $2$ तक ले जाने में दी गई ऊष्मा ज्ञात कीजिए।

(N/A) पॉलीट्रोपिक प्रक्रिया $PV^n = K$ में किया गया कार्य $W = \frac{P_1V_1 - P_2V_2}{n-1}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ, $n = 1/2$. अतः, $W = \frac{P_1V_1 - P_2V_2}{1/2 - 1} = \frac{P_1V_1 - P_2V_2}{-1/2} = 2(P_2V_2 - P_1V_1)$.
चूंकि $P_1V_1^{1/2} = P_2V_2^{1/2}$, हमारे पास $P_2 = P_1(V_1/V_2)^{1/2}$ है।
इस प्रकार, $W = 2[P_1(V_1/V_2)^{1/2}V_2 - P_1V_1] = 2P_1V_1[(V_2/V_1)^{1/2} - 1]$.
$(b)$ आदर्श गैस समीकरण $PV = RT$ ($1$ मोल के लिए) का उपयोग करते हुए, $P = RT/V$.
$PV^{1/2} = K$ में प्रतिस्थापित करने पर, $(RT/V)V^{1/2} = K$, इसलिए $TV^{-1/2} = \text{नियतांक}$.
अतः, $T_1V_1^{-1/2} = T_2V_2^{-1/2} \implies \frac{T_1}{T_2} = (\frac{V_1}{V_2})^{1/2}$.
दिया गया है $V_2 = 2V_1$, तो $\frac{T_1}{T_2} = (\frac{V_1}{2V_1})^{1/2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$(c)$ ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम से, $Q = \Delta U + W$.
$\Delta U = \frac{3}{2}R(T_2 - T_1)$.
चूंकि $T_2 = \sqrt{2}T_1$, $\Delta U = \frac{3}{2}R(\sqrt{2}T_1 - T_1) = \frac{3}{2}RT_1(\sqrt{2} - 1)$.
$W = 2(P_2V_2 - P_1V_1) = 2R(T_2 - T_1) = 2RT_1(\sqrt{2} - 1)$.
$Q = \frac{3}{2}RT_1(\sqrt{2} - 1) + 2RT_1(\sqrt{2} - 1) = \frac{7}{2}RT_1(\sqrt{2} - 1)$.