$(a)$ દર્શાવો કે વિદ્યુતભારિત સપાટીની એક બાજુથી બીજી બાજુએ સ્થિત-વિદ્યુત ક્ષેત્રનો લંબ ઘટક અસતત હોય છે, જે $(E_2 - E_1) \cdot \hat{n} = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $\hat{n}$ એ સપાટીને કોઈ બિંદુએ લંબ એકમ સદિશ છે અને $\sigma$ એ તે બિંદુએ પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા છે। ($\hat{n}$ ની દિશા બાજુ $1$ થી બાજુ $2$ તરફ છે।) આથી, દર્શાવો કે વાહકની બરાબર બહાર વિદ્યુતક્ષેત્ર $\frac{\sigma \hat{n}}{\varepsilon_0}$ છે। $(b)$ દર્શાવો કે સ્થિત-વિદ્યુત ક્ષેત્રનો સ્પર્શકીય ઘટક વિદ્યુતભારિત સપાટીની એક બાજુથી બીજી બાજુએ સતત હોય છે।

$(A)$ વિદ્યુતભારિત સપાટીના નાના ક્ષેત્રફળને આવરી લેતું એક નાનું ગોસિયન પિલબોક્સ (નળાકાર) ધ્યાનમાં લો જેનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ છે। ગોસના નિયમ મુજબ, પિલબોક્સમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $\oint E \cdot dA = \frac{q_{enclosed}}{\varepsilon_0}$ છે। બાજુઓમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ અવગણ્ય છે। બે સપાટીઓમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $(E_{2n} - E_{1n})A = \frac{\sigma A}{\varepsilon_0}$ છે, જ્યાં $E_{2n}$ અને $E_{1n}$ એ લંબ ઘટકો છે। આમ, $(E_2 - E_1) \cdot \hat{n} = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}$। વાહક માટે, અંદરનું ક્ષેત્ર $E_1 = 0$ છે, તેથી $E_2 \cdot \hat{n} = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}$, જે સૂચવે છે કે $E = \frac{\sigma \hat{n}}{\varepsilon_0}$। $(b)$ સપાટી પર રહેલ લંબાઈ $l$ અને પહોળાઈ $w$ ધરાવતો એક નાનો લંબચોરસ ગાળો ધ્યાનમાં લો। બંધ ગાળામાં વિદ્યુતભારને ફેરવવા માટે સ્થિત-વિદ્યુત ક્ષેત્ર દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય શૂન્ય છે $(\oint E \cdot dl = 0)$। જેમ પહોળાઈ $w \to 0$ થાય છે, તેમ બાજુઓમાંથી મળતું યોગદાન શૂન્ય થઈ જાય છે, અને $(E_{1t} - E_{2t})l = 0$ બાકી રહે છે, જ્યાં $E_{1t}$ અને $E_{2t}$ એ સ્પર્શકીય ઘટકો છે। આમ, $E_{1t} = E_{2t}$, જે સાબિત કરે છે કે સ્પર્શકીય ઘટક સતત છે।