$(a)$ બે લેન્સના સંયોજનની 'અસરકારક કેન્દ્રલંબાઈ' નક્કી કરો,જેમાં $30 \; cm$ કેન્દ્રલંબાઈ ધરાવતો બહિર્ગોળ લેન્સ અને $20 \; cm$ કેન્દ્રલંબાઈ ધરાવતો અંતર્ગોળ લેન્સ છે,જો તેઓને તેમની મુખ્ય અક્ષો એકબીજાને સંપાત થાય તેમ $8.0 \; cm$ ના અંતરે રાખવામાં આવે. શું જવાબ એ બાબત પર આધાર રાખે છે કે સમાંતર પ્રકાશનું કિરણ કઈ બાજુથી આપાત થાય છે? શું આ સિસ્ટમ માટે અસરકારક કેન્દ્રલંબાઈનો ખ્યાલ ઉપયોગી છે?
$(b)$ ઉપરના $(a)$ મુજબની ગોઠવણીમાં બહિર્ગોળ લેન્સની બાજુએ $1.5 \; cm$ કદની એક વસ્તુ મૂકવામાં આવે છે. વસ્તુ અને બહિર્ગોળ લેન્સ વચ્ચેનું અંતર $40 \; cm$ છે. બે-લેન્સ સિસ્ટમ દ્વારા ઉત્પન્ન થતી મોટવણી અને પ્રતિબિંબનું કદ નક્કી કરો.

(N/A) બહિર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ,$f_{1} = 30 \; cm$.
અંતર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ,$f_{2} = -20 \; cm$.
બે લેન્સ વચ્ચેનું અંતર,$d = 8.0 \; cm$.
$(a)$ જ્યારે સમાંતર પ્રકાશનું કિરણ પ્રથમ બહિર્ગોળ લેન્સ પર આપાત થાય છે:
લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{v_{1}} - \frac{1}{u_{1}} = \frac{1}{f_{1}}$ માં $u_{1} = -\infty$ લેતા,$v_{1} = f_{1} = 30 \; cm$ મળે છે.
આ પ્રતિબિંબ અંતર્ગોળ લેન્સ માટે આભાસી વસ્તુ તરીકે વર્તે છે. અંતર $u_{2} = v_{1} - d = 30 - 8 = 22 \; cm$.
અંતર્ગોળ લેન્સ માટે લેન્સનું સૂત્ર વાપરતા: $\frac{1}{v_{2}} - \frac{1}{22} = \frac{1}{-20} \implies \frac{1}{v_{2}} = \frac{1}{22} - \frac{1}{20} = -\frac{1}{220}$.
તેથી,$v_{2} = -220 \; cm$. સમાંતર કિરણો સંયોજનના કેન્દ્રથી $220 - 4 = 216 \; cm$ દૂરના બિંદુએથી અપસરણ પામતા જણાય છે.
જ્યારે સમાંતર કિરણ પ્રથમ અંતર્ગોળ લેન્સ પર આપાત થાય છે:
$\frac{1}{v_{2}} - \frac{1}{u_{2}} = \frac{1}{f_{2}}$ માં $u_{2} = -\infty$ લેતા,$v_{2} = f_{2} = -20 \; cm$ મળે છે.
આ પ્રતિબિંબ બહિર્ગોળ લેન્સ માટે વાસ્તવિક વસ્તુ તરીકે વર્તે છે. અંતર $u_{1} = -(20 + 8) = -28 \; cm$.
બહિર્ગોળ લેન્સ માટે લેન્સનું સૂત્ર વાપરતા: $\frac{1}{v_{1}} - \frac{1}{-28} = \frac{1}{30} \implies \frac{1}{v_{1}} = \frac{1}{30} - \frac{1}{28} = -\frac{1}{420}$.
તેથી,$v_{1} = -420 \; cm$. સમાંતર કિરણો કેન્દ્રથી $420 - 4 = 416 \; cm$ દૂરના બિંદુએથી અપસરણ પામતા જણાય છે.
પરિણામો અલગ હોવાથી,આ સિસ્ટમ માટે અસરકારક કેન્દ્રલંબાઈનો ખ્યાલ ઉપયોગી નથી.
$(b)$ બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,$u_{1} = -40 \; cm, f_{1} = 30 \; cm$. $\frac{1}{v_{1}} = \frac{1}{30} + \frac{1}{-40} = \frac{1}{120} \implies v_{1} = 120 \; cm$.
મોટવણી $m_{1} = \frac{v_{1}}{u_{1}} = \frac{120}{-40} = -3$.
અંતર્ગોળ લેન્સ માટે,$u_{2} = 120 - 8 = 112 \; cm, f_{2} = -20 \; cm$. $\frac{1}{v_{2}} = \frac{1}{-20} + \frac{1}{112} = -\frac{92}{2240} \implies v_{2} \approx -24.35 \; cm$.
મોટવણી $m_{2} = \frac{v_{2}}{u_{2}} = \frac{-2240/92}{112} = -\frac{20}{92} \approx -0.217$.
કુલ મોટવણી $m = m_{1} \times m_{2} = (-3) \times (-0.217) = 0.652$.
પ્રતિબિંબનું કદ $h_{2} = m \times h_{1} = 0.652 \times 1.5 = 0.978 \; cm \approx 0.98 \; cm$.