यदि x = 1 + a + a^2 + ... infty (a

Question

(A) दी गई श्रेणियाँ अनंत गुणोत्तर श्रेणी $(G.P.)$ हैं।$x = 1 + a + a^2 + ... \infty$ के लिए,योग $x = \frac{1}{1 - a}$ है।$a$ के लिए हल करने पर,$1 - a

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$\frac{xy}{x + y - 1}$

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(A) दी गई श्रेणियाँ अनंत गुणोत्तर श्रेणी $(G.P.)$ हैं।$x = 1 + a + a^2 + ... \infty$ के लिए,योग $x = \frac{1}{1 - a}$ है।$a$ के लिए हल करने पर,$1 - a = \frac{1}{x}$,अतः $a = 1 - \frac{1}{x} = \frac{x - 1}{x}$ प्राप्त होता है।इसी प्रकार,$y = 1 + b + b^2 + ... \infty$ के लिए,योग $y = \frac{1}{1 - b}$ है।$b$ के लिए हल करने पर,$1 - b = \frac{1}{y}$,अतः $b = 1 - \frac{1}{y} = \frac{y - 1}{y}$ प्राप्त होता है।अभीष्ट श्रेणी $1 + ab + a^2b^2 + ... \infty$ है,जो स्वयं एक अनंत $G.P.$ है जिसका प्रथम पद $1$ और सार्व अनुपात $ab$ है।इसका योग $\frac{1}{1 - ab}$ होता है।$a$ और $b$ के मान प्रतिस्थापित करने पर:योग $= \frac{1}{1 - (\frac{x - 1}{x})(\frac{y - 1}{y})} = \frac{1}{1 - \frac{(x - 1)(y - 1)}{xy}}$.योग $= \frac{xy}{xy - (xy - x - y + 1)} = \frac{xy}{xy - xy + x + y - 1} = \frac{xy}{x + y - 1}$.

यदि $x = 1 + a + a^2 + ... \infty$ $(a < 1)$ और $y = 1 + b + b^2 + ... \infty$ $(b < 1)$ है,तो $1 + ab + a^2b^2 + ... \infty$ का मान ज्ञात कीजिए।

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