$BL$ અને $CM$ એ કાટકોણ ત્રિકોણ $ABC$ (જ્યાં $\angle A = 90^{\circ}$) ના મધ્યગાઓ છે. સાબિત કરો કે $4(BL^2 + CM^2) = 5BC^2$.

(N/A) $BL$ અને $CM$ એ $\Delta ABC$ ની મધ્યગાઓ છે,જેમાં $\angle A = 90^{\circ}$ છે.
$\Delta ABC$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$BC^2 = AB^2 + AC^2$ $...(1)$
$\Delta ABL$ માં,$L$ એ $AC$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$AL = AC/2$:
$BL^2 = AB^2 + AL^2 = AB^2 + (AC/2)^2 = AB^2 + AC^2/4$
$4BL^2 = 4AB^2 + AC^2$ $...(2)$
$\Delta CMA$ માં,$M$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$AM = AB/2$:
$CM^2 = AC^2 + AM^2 = AC^2 + (AB/2)^2 = AC^2 + AB^2/4$
$4CM^2 = 4AC^2 + AB^2$ $...(3)$
$(2)$ અને $(3)$ નો સરવાળો કરતા:
$4(BL^2 + CM^2) = 4AB^2 + AC^2 + 4AC^2 + AB^2$
$4(BL^2 + CM^2) = 5AB^2 + 5AC^2$
$4(BL^2 + CM^2) = 5(AB^2 + AC^2)$
સમીકરણ $(1)$ નો ઉપયોગ કરતા,$AB^2 + AC^2 = BC^2$,તેથી:
$4(BL^2 + CM^2) = 5BC^2$.