$\triangle ABC$ માં,$AB = 5\, cm$,$BC = 8\, cm$ અને $CA = 7\, cm$ છે. જો $D$ અને $E$ અનુક્રમે $AB$ અને $BC$ ના મધ્યબિંદુઓ હોય,તો $DE$ ની લંબાઈ શોધો. ($, cm$ માં)

સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ ની સામસામેની બાજુઓ $AB$ અને $CD$ પર બિંદુઓ $P$ અને $Q$ એવી રીતે લેવામાં આવ્યા છે કે જેથી $AP = CQ$ થાય (આકૃતિ જુઓ). સાબિત કરો કે $AC$ અને $PQ$ એકબીજાને દુભાગે છે.

સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $PQRS$ માં,$\angle P$ નો દ્વિભાજક $RS$ ને $M$ માં છેદે છે અને $\angle R$ નો દ્વિભાજક $PQ$ ને $N$ માં છેદે છે. સાબિત કરો કે $PNRM$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.

$P, Q, R$ અને $S$ એ ચતુષ્કોણ $ABCD$ ની બાજુઓ $AB, BC, CD$ અને $DA$ ના મધ્યબિંદુઓ છે,જ્યાં $AC \perp BD$ છે. સાબિત કરો કે $PQRS$ એક લંબચોરસ છે.

$(1)$ જો ચાર સમતલીય બિંદુઓમાંથી કોઈ પણ ત્રણ બિંદુઓ સમરેખ ન હોય,તો આ ચાર બિંદુઓને ક્રમમાં જોડવાથી બનતી $\ldots \ldots \ldots$ આકૃતિને ચતુષ્કોણ કહેવાય છે.
$(2)$ ચતુષ્કોણને સામસામેની બાજુઓની $\ldots \ldots \ldots$ જોડ હોય છે.

સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ માં,$\angle A = 5x - 40^{\circ}$ અને $\angle C = 3x + 10^{\circ}$ હોય,તો $x = \ldots$