$AC$ और $BD$ एक वृत्त की जीवाएँ हैं जो एक-दूसरे को समद्विभाजित करती हैं। सिद्ध कीजिए कि $ABCD$ एक आयत है।

(A) मान लीजिए वृत्त का केंद्र $O'$ है। मान लीजिए जीवाएँ $AC$ और $BD$ बिंदु $O$ पर प्रतिच्छेद करती हैं।
चूँकि जीवाएँ एक-दूसरे को समद्विभाजित करती हैं,इसलिए $AO = OC$ और $BO = OD$ है।
$\Delta AOB$ और $\Delta COD$ में:
$AO = OC$ (दिया है),
$BO = OD$ (दिया है),
$\angle AOB = \angle COD$ (शीर्षाभिमुख कोण)।
अतः,$SAS$ सर्वांगसमता नियम द्वारा $\Delta AOB \cong \Delta COD$ है।
इसका अर्थ है कि $AB = CD$ और $\angle OAB = \angle OCD$ है। चूँकि ये एकांतर अंतःकोण हैं,इसलिए $AB \parallel CD$ है।
वह चतुर्भुज जिसकी सम्मुख भुजाओं का एक युग्म बराबर और समांतर हो,वह समांतर चतुर्भुज होता है। अतः,$ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है।
चूँकि $ABCD$ एक चक्रीय चतुर्भुज है (क्योंकि इसके शीर्ष वृत्त पर स्थित हैं),इसलिए इसके सम्मुख कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
समांतर चतुर्भुज में,सम्मुख कोण बराबर होते हैं,इसलिए $\angle A = \angle C$ और $\angle B = \angle D$ है।
चूँकि $\angle A + \angle C = 180^{\circ}$ है,इसलिए $2\angle A = 180^{\circ}$ होगा,जिसका अर्थ है कि $\angle A = 90^{\circ}$ है।
वह समांतर चतुर्भुज जिसका एक कोण $90^{\circ}$ हो,वह आयत होता है। अतः,$ABCD$ एक आयत है।