$ABCD$ एक समचतुर्भुज है और $P, Q, R$ तथा $S$ क्रमशः भुजाओं $AB, BC, CD$ और $DA$ के मध्य-बिंदु हैं। दर्शाइए कि चतुर्भुज $PQRS$ एक आयत है।

(N/A) दिया है: $ABCD$ एक समचतुर्भुज है। $P, Q, R, S$ क्रमशः भुजाओं $AB, BC, CD, DA$ के मध्य-बिंदु हैं।
सिद्ध करना है: $PQRS$ एक आयत है।
रचना: $AC$ और $BD$ को मिलाइए।
उपपत्ति:
$1$. $\Delta ABC$ में,$P$ और $Q$ भुजाओं $AB$ और $BC$ के मध्य-बिंदु हैं। मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,$PQ \parallel AC$ और $PQ = \frac{1}{2} AC$ ... $(1)$.
$2$. $\Delta ADC$ में,$S$ और $R$ भुजाओं $AD$ और $CD$ के मध्य-बिंदु हैं। मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,$SR \parallel AC$ और $SR = \frac{1}{2} AC$ ... $(2)$.
$3$. $(1)$ और $(2)$ से,$PQ \parallel SR$ और $PQ = SR$ प्राप्त होता है। चूँकि सम्मुख भुजाओं का एक युग्म बराबर और समांतर है,इसलिए $PQRS$ एक समांतर चतुर्भुज है।
$4$. समचतुर्भुज में,विकर्ण एक-दूसरे को $90^{\circ}$ पर समद्विभाजित करते हैं। मान लीजिए $AC$ और $BD$ बिंदु $O$ पर प्रतिच्छेद करते हैं। अतः,$AC \perp BD$.
$5$. चूँकि $PQ \parallel AC$ और $QR \parallel BD$,इसलिए $PQ$ और $QR$ के बीच का कोण $90^{\circ}$ होगा क्योंकि $AC$ और $BD$ के बीच का कोण $90^{\circ}$ है।
$6$. चूँकि $PQRS$ एक समांतर चतुर्भुज है जिसका एक कोण $90^{\circ}$ है,इसलिए $PQRS$ एक आयत है।