$ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है और $P$ तथा $Q$ विकर्ण $AC$ पर स्थित ऐसे बिंदु हैं कि $AP = PQ = QC$ है। सिद्ध कीजिए कि $BQ \parallel DP$ और $BD$, $PQ$ को समद्विभाजित करता है।

(N/A) $1$. $\triangle ABP$ और $\triangle CDQ$ में:
$AB = CD$ (समांतर चतुर्भुज $ABCD$ की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं)।
$\angle BAP = \angle DCQ$ (एकांतर अंतःकोण, क्योंकि $AB \parallel CD$ और $AC$ एक तिर्यक रेखा है)।
$AP = CQ$ (दिया है)।
$SAS$ सर्वांगसमता कसौटी से, $\triangle ABP \cong \triangle CDQ$।
अतः, $BP = DQ$ और $\angle ABP = \angle CDQ$।
$2$. $\triangle ADP$ और $\triangle CBQ$ में:
$AD = CB$ (समांतर चतुर्भुज $ABCD$ की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं)।
$\angle DAP = \angle BCQ$ (एकांतर अंतःकोण, क्योंकि $AD \parallel BC$ और $AC$ एक तिर्यक रेखा है)।
$AP = CQ$ (दिया है)।
$SAS$ सर्वांगसमता कसौटी से, $\triangle ADP \cong \triangle CBQ$।
अतः, $DP = BQ$ और $\angle ADP = \angle CBQ$।
$3$. चूँकि $BP = DQ$ और $DP = BQ$ है, इसलिए चतुर्भुज $PBQD$ एक समांतर चतुर्भुज है (सम्मुख भुजाएँ बराबर हैं)।
अतः, $BQ \parallel DP$।
$4$. समांतर चतुर्भुज $PBQD$ में, विकर्ण $BD$ और $PQ$ एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं। अतः, $BD$, $PQ$ को समद्विभाजित करता है।