$(i)$ જમીન સાથે અમુક ખૂણે ફેંકવામાં આવેલી વસ્તુ વક્ર માર્ગે ગતિ કરે છે અને પાછી જમીન પર પડે છે. વસ્તુના માર્ગના પ્રારંભિક અને અંતિમ બિંદુઓ એક જ સમક્ષિતિજ રેખા પર આવેલા છે. ગુરુત્વાકર્ષણ બળની વિરુદ્ધ અને ગુરુત્વાકર્ષણ બળ દ્વારા વસ્તુ પર થયેલું કુલ કાર્ય કેટલું છે? યોગ્ય ગાણિતિક અભિવ્યક્તિ સાથે સમજાવો.
$(ii)$ $20 \, kg$ દળ પર લાગતું એક ચોક્કસ બળ તેનો વેગ $5 \, m s^{-1}$ થી બદલીને $2 \, m s^{-1}$ કરે છે. બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય ગણો.

(D) $(i)$ જ્યારે કોઈ વસ્તુને અમુક ખૂણે ફેંકવામાં આવે છે, ત્યારે તે મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ સુધી ઉપર જાય છે અને પછી પરવલયાકાર માર્ગે પાછી જમીન પર આવે છે। ઉપર જતી વખતે ગુરુત્વાકર્ષણની વિરુદ્ધ થયેલું કાર્ય $W_{against} = mgh$ છે। નીચે પડતી વખતે ગુરુત્વાકર્ષણ દ્વારા થયેલું કાર્ય $W_{by} = mgh$ છે। પ્રારંભિક અને અંતિમ બિંદુઓ એક જ સમક્ષિતિજ રેખા પર હોવાથી, શિરોલંબ દિશામાં કુલ સ્થાનાંતર $0$ છે। તેથી, ગુરુત્વાકર્ષણ બળ દ્વારા થયેલું કુલ કાર્ય $W_{net} = W_{against} + W_{by} = -mgh + mgh = 0 \, J$ છે।
$(ii)$ આપેલ છે: દળ $m = 20 \, kg$, પ્રારંભિક વેગ $u = 5 \, m s^{-1}$, અંતિમ વેગ $v = 2 \, m s^{-1}$।
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ, બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે:
$W = \Delta KE = \frac{1}{2} m v^2 - \frac{1}{2} m u^2$
$W = \frac{1}{2} \times 20 \times (2)^2 - \frac{1}{2} \times 20 \times (5)^2$
$W = 10 \times 4 - 10 \times 25$
$W = 40 - 250 = -210 \, J$।