$(i)$ ઉર્જા સંરક્ષણનો નિયમ જણાવો.
$(ii)$ દર્શાવો કે મુક્ત પતન કરતા પદાર્થની કુલ યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષિત રહે છે.

(N/A) $(i)$ ઉર્જા સંરક્ષણનો નિયમ જણાવે છે કે ઉર્જાનું સર્જન કે વિનાશ થઈ શકતો નથી,તેને માત્ર એક સ્વરૂપમાંથી બીજા સ્વરૂપમાં રૂપાંતરિત કરી શકાય છે. જો કોઈ તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય બિન-સંરક્ષી બળો કાર્ય ન કરતા હોય,તો તેની કુલ ઉર્જા અચળ રહે છે.
$(ii)$ ધારો કે $m$ દળનો એક પદાર્થ પૃથ્વીની સપાટીથી $h$ ઊંચાઈએથી મુક્ત પતન કરે છે. ધારો કે પદાર્થ $A$ બિંદુએ $h$ ઊંચાઈ પર છે,$x$ અંતર કાપ્યા પછી $B$ બિંદુએ $(h-x)$ ઊંચાઈ પર છે,અને $C$ બિંદુએ જમીનને સ્પર્શતા પહેલા છે.
$A$ બિંદુએ (ઊંચાઈ $h$): પદાર્થ સ્થિર છે,તેથી વેગ $v = 0$.
ગતિ ઉર્જા $(T) = 1/2 mv^2 = 0$.
સ્થિતિ ઉર્જા $(U) = mgh$.
કુલ ઉર્જા $(E) = T + U = 0 + mgh = mgh$ $....(i)$
$B$ બિંદુએ (ઊંચાઈ $h-x$): પદાર્થે $x$ અંતર કાપ્યું છે. ગતિના સમીકરણ $v^2 - u^2 = 2as$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u=0, a=g, s=x$,આપણને $v^2 = 2gx$ મળે છે.
ગતિ ઉર્જા $(T) = 1/2 m(2gx) = mgx$.
સ્થિતિ ઉર્જા $(U) = mg(h-x) = mgh - mgx$.
કુલ ઉર્જા $(E) = T + U = mgx + mgh - mgx = mgh$ $....(ii)$
$C$ બિંદુએ (ઊંચાઈ $0$): પદાર્થે $h$ અંતર કાપ્યું છે. ગતિના સમીકરણ $v^2 - u^2 = 2as$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u=0, a=g, s=h$,આપણને $V^2 = 2gh$ મળે છે.
ગતિ ઉર્જા $(T) = 1/2 mV^2 = 1/2 m(2gh) = mgh$.
સ્થિતિ ઉર્જા $(U) = mg(0) = 0$.
કુલ ઉર્જા $(E) = T + U = mgh + 0 = mgh$ $....(iii)$
સમીકરણો $(i), (ii),$ અને $(iii)$ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે મુક્ત પતન કરતા પદાર્થની કુલ યાંત્રિક ઉર્જા દરેક બિંદુએ અચળ રહે છે.