lim _{n rightarrow infty}left(frac{n^{2}}{lef | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ પદને $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^{n} \frac{n^{2}}{(n^{2}+r^{2})(n+r)}$ તરીકે લખી શકાય.અંશ અને છેદને $n^3$ વડે ભાગતા,આપણને મળે:$\

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{\pi}{8}+\frac{1}{4} \log _{ e } 2$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ પદને $\lim _{n ightarrow \infty} \sum_{r=1}^{n} \frac{n^{2}}{(n^{2}+r^{2})(n+r)}$ તરીકે લખી શકાય.અંશ અને છેદને $n^3$ વડે ભાગતા,આપણને મળે:$\lim _{n ightarrow \infty} \sum_{r=1}^{n} \frac{1}{n \left(1+(\frac{r}{n})^{2}ight)(1+\frac{r}{n})}$.આ એક રીમાન સરવાળો છે,જેને નિશ્ચિત સંકલન તરીકે દર્શાવી શકાય:$\int_{0}^{1} \frac{dx}{(1+x^{2})(1+x)}$.આંશિક અપૂર્ણાંકની રીત વાપરતા,$\frac{1}{(1+x^{2})(1+x)} = \frac{1}{2(1+x)} - \frac{x-1}{2(1+x^{2})}$.તેથી,સંકલન $\frac{1}{2} \int_{0}^{1} \frac{dx}{1+x} - \frac{1}{2} \int_{0}^{1} \frac{x-1}{1+x^{2}} dx$ બને છે.$= \frac{1}{2} [\ln(1+x)]_{0}^{1} - \frac{1}{2} [\frac{1}{2} \ln(1+x^{2}) - 	an^{-1} x]_{0}^{1}$.$= \frac{1}{2} \ln 2 - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \ln 2 - \frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{8} + \frac{1}{4} \ln 2$.

$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{n^{2}}{\left(n^{2}+1\right)(n+1)}+\frac{n^{2}}{\left(n^{2}+4\right)(n+2)}+\frac{n^{2}}{\left(n^{2}+9\right)(n+3)}+\ldots+\frac{n^{2}}{\left(n^{2}+n^{2}\right)(n+n)}\right)$ ની કિંમત શોધો.

Similar Questions

ધારો કે $[ \cdot ]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય છે અને $f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^3} \sum_{k=1}^n \left[ \frac{k^2}{3^x} \right]$. તો $12 \sum_{j=1}^{\infty} f(j)$ ની કિંમત ........... છે.

$\lim _{n \rightarrow \infty} \left[ \frac{n}{n^{2}+1^{2}} + \frac{n}{n^{2}+2^{2}} + \ldots + \frac{n}{n^{2}+n^{2}} \right]$ ની કિંમત શોધો.

$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{{{n^3}}}\left[ {{1^2}\sin \frac{1}{n} + {2^2}\sin \frac{2}{n} + {3^2}\sin \frac{3}{n} + ....+{n^2}\sin \frac{n}{n}} \right]$ ની કિંમત શોધો.

$\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{1}{n^2} \sec ^2 \frac{1}{n^2}+\frac{2}{n^2} \sec ^2 \frac{4}{n^2}+\frac{3}{n^2} \sec ^2 \frac{9}{n^2}+\ldots+\frac{n}{n^2} \sec ^2 \frac{n^2}{n^2}\right]=$

$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^2} \sum_{k=1}^{2n} k e^{k/n} = $

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module