$\lim _{n \rightarrow \infty} \left[ \frac{n}{n^{2}+1^{2}} + \frac{n}{n^{2}+2^{2}} + \ldots + \frac{n}{n^{2}+n^{2}} \right]$ ની કિંમત શોધો.

$\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{1} + \sqrt{2} + \dots + \sqrt{n}}{n^{\frac{3}{2}}} =$

જો $\lim _{n}$ ${\rightarrow \infty}\left[\left(1+\frac{1}{n^2}\right)\left(1+\frac{2^2}{n^2}\right) \ldots\left(1+\frac{n^2}{n^2}\right)\right]^{1 / n}=k$ હોય,તો $\log k=$

જો $a = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{2n}{n^2+k^2}$ અને $f(x) = \sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}$,$x \in (0, 1)$,હોય તો:

$\lim_{n \to \infty} \left[ \frac{1}{n}\sin \left( \frac{1}{n} \right)\left( \cos \left( \frac{1}{n} \right) \right)^2 + \frac{1}{n}\sin \left( \frac{2}{n} \right)\left( \cos \left( \frac{2}{n} \right) \right)^2 + \dots + \frac{1}{n}(\sin 1)(\cos 1)^2 \right]$ નું મૂલ્ય શું છે?

ધારો કે $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^{n} \left( \frac{n}{\sqrt{n^4+r^4}} - \frac{2 n r^2}{(n^2+r^2) \sqrt{n^4+r^4}} \right) = \frac{\pi}{k}.$ પ્રતિ-ત્રિકોણમિતીય વિધેયોના મુખ્ય મૂલ્યોનો ઉપયોગ કરીને,તો $k^2$ ની કિંમત શોધો: