int limits_{frac{3 sqrt{2}}{4}}^{frac{3 sqrt{ | vedclass

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Question

(D) हमें समाकलन $I = \int \limits_{\frac{3 \sqrt{2}}{4}}^{\frac{3 \sqrt{3}}{4}} \frac{48}{\sqrt{9-4 x^2}} dx$ का मान ज्ञात करना है।सबसे पहले,समाकलन को

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$2 \pi$

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(D) हमें समाकलन $I = \int \limits_{\frac{3 \sqrt{2}}{4}}^{\frac{3 \sqrt{3}}{4}} \frac{48}{\sqrt{9-4 x^2}} dx$ का मान ज्ञात करना है।सबसे पहले,समाकलन को $I = \int \limits_{\frac{3 \sqrt{2}}{4}}^{\frac{3 \sqrt{3}}{4}} \frac{48}{\sqrt{3^2-(2 x)^2}} dx$ के रूप में लिखें।मानक सूत्र $\int \frac{du}{\sqrt{a^2-u^2}} = \sin^{-1}(\frac{u}{a}) + C$ का उपयोग करते हुए,$u = 2x$ रखने पर,$du = 2dx$ या $dx = \frac{du}{2}$ प्राप्त होता है।जब $x = \frac{3\sqrt{2}}{4}$,तब $u = 2(\frac{3\sqrt{2}}{4}) = \frac{3\sqrt{2}}{2}$.जब $x = \frac{3\sqrt{3}}{4}$,तब $u = 2(\frac{3\sqrt{3}}{4}) = \frac{3\sqrt{3}}{2}$.अतः,$I = \int_{\frac{3\sqrt{2}}{2}}^{\frac{3\sqrt{3}}{2}} \frac{48}{\sqrt{3^2-u^2}} \cdot \frac{du}{2} = 24 \int_{\frac{3\sqrt{2}}{2}}^{\frac{3\sqrt{3}}{2}} \frac{du}{\sqrt{3^2-u^2}}$.$I = 24 \left[ \sin^{-1} \left( \frac{u}{3} \right) \right]_{\frac{3\sqrt{2}}{2}}^{\frac{3\sqrt{3}}{2}}$.$I = 24 \left[ \sin^{-1} \left( \frac{3\sqrt{3}/2}{3} \right) - \sin^{-1} \left( \frac{3\sqrt{2}/2}{3} \right) \right]$.$I = 24 \left[ \sin^{-1} \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) - \sin^{-1} \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right) \right]$.$I = 24 \left( \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} \right) = 24 \left( \frac{4\pi - 3\pi}{12} \right) = 24 \left( \frac{\pi}{12} \right) = 2\pi$.

$\int \limits_{\frac{3 \sqrt{2}}{4}}^{\frac{3 \sqrt{3}}{4}} \frac{48}{\sqrt{9-4 x^2}} d x$ का मान ज्ञात कीजिए।

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