lim _{n rightarrow infty} frac{3}{n} left{ 4 | vedclass

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Question

(D) दी गई अभिव्यक्ति $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{3}{n} \sum _{r=0}^{n-1} \left( 2 + \frac{r}{n} \right)^2$ है। निश्चित समाकल की परिभाषा के अनु

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$19$

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(D) दी गई अभिव्यक्ति $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{3}{n} \sum _{r=0}^{n-1} \left( 2 + \frac{r}{n} \right)^2$ है। निश्चित समाकल की परिभाषा के अनुसार,$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum _{r=0}^{n-1} f\left( \frac{r}{n} \right) = \int _0^1 f(x) dx$ होता है। यहाँ,इस अभिव्यक्ति को $3 \int _0^1 (2+x)^2 dx$ के रूप में लिखा जा सकता है। माना $u = 2+x$,तो $du = dx$ होगा। जब $x=0, u=2$ और जब $x=1, u=3$ होगा। अतः,$3 \int _2^3 u^2 du = 3 \left[ \frac{u^3}{3} \right] _2^3 = [u^3] _2^3 = 3^3 - 2^3 = 27 - 8 = 19$.

$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{3}{n} \left\{ 4 + \left( 2 + \frac{1}{n} \right)^2 + \left( 2 + \frac{2}{n} \right)^2 + \dots + \left( 3 - \frac{1}{n} \right)^2 \right\}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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$\lim _{n}$ ${\rightarrow \infty}\left[\left(1+\frac{1^2}{n^2}\right)\left(1+\frac{2^2}{n^2}\right) \ldots \left(1+\frac{n^2}{n^2}\right)\right]^{\frac{1}{n}}=$

$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{2 n} \frac{r}{\sqrt{n^2+r^2}}=$

निश्चित समाकलन की परिभाषा द्वारा, $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1^4}{1^5+n^5}+\frac{2^4}{2^5+n^5}+\frac{3^4}{3^5+n^5}+\ldots+\frac{n^4}{n^5+n^5}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_0^3 (2+x^2) dx = $

$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{(2n(2n-1) \dots (n+1))^{1/n}}{n} = $

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