જો $^{n-1}C_r = (k^2 - 3) \cdot ^nC_{r+1}$ હોય,તો $k$ નો વિસ્તાર શોધો:

એક પ્રશ્નપત્રમાં બે વિભાગ $A$ અને $B$ છે,જેમાં વિભાગ-$A$ માં $8$ પ્રશ્નો અને વિભાગ-$B$ માં $6$ પ્રશ્નો છે. એક વિદ્યાર્થીએ કુલ $10$ પ્રશ્નોના જવાબ આપવાના છે,જેમાં વિભાગ-$A$ માંથી ઓછામાં ઓછા $4$ પ્રશ્નો અને વિભાગ-$B$ માંથી ઓછામાં ઓછા $3$ પ્રશ્નો પસંદ કરવાના છે. તો વિદ્યાર્થી કેટલી રીતે તે પ્રશ્નપત્રના જવાબ આપી શકે?

ધારો કે $N$ એ ધન પૂર્ણાંકોનો ગણ છે. $x, y, z \in N, x < y < z$ અને $x+y+z=12$ નું સમાધાન કરતી ભિન્ન ત્રિપુટીઓ $(x, y, z)$ ની સંખ્યા કેટલી છે?

એક વિદ્યાર્થીએ પરીક્ષામાં $13$ માંથી $10$ પ્રશ્નોના જવાબ આપવાના છે,જેમાં તેણે પ્રથમ $5$ પ્રશ્નોમાંથી ઓછામાં ઓછા $4$ પ્રશ્નો પસંદ કરવાના છે. તેની પાસે ઉપલબ્ધ પસંદગીઓની સંખ્યા કેટલી છે?

એક પ્રશ્નપત્રમાં બે વિભાગો છે જેમાં અનુક્રમે $3$ અને $4$ પ્રશ્નો છે. પ્રશ્નપત્ર પર નીચેની નોંધ આપવામાં આવી છે: "બધા પ્રશ્નોના જવાબ આપવા જરૂરી નથી. દરેક વિભાગમાંથી એક પ્રશ્ન ફરજિયાત છે". ઉમેદવાર કેટલા પ્રકારે પ્રશ્નો પસંદ કરી શકે છે?

પ્રાકૃતિક સંખ્યા $n$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધો જેથી $\binom{n-1}{5} + \binom{n-1}{6} < \binom{n}{7}$ થાય.