int_0^1 log (x+1) , dx = | vedclass

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Question

(A) समाकल $I = \int_0^1 \log(x+1) \, dx$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम खंडशः समाकलन (integration by parts) विधि का उपयोग करते हैं।माना $u = \log(x+1)$ औ

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$2 \log 2 - 1$

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(A) समाकल $I = \int_0^1 \log(x+1) \, dx$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम खंडशः समाकलन (integration by parts) विधि का उपयोग करते हैं।माना $u = \log(x+1)$ और $dv = dx$ है।तब $du = \frac{1}{x+1} \, dx$ और $v = x$ प्राप्त होता है।सूत्र $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ का उपयोग करने पर:$I = [x \log(x+1)]_0^1 - \int_0^1 \frac{x}{x+1} \, dx$$I = [1 \cdot \log(2) - 0 \cdot \log(1)] - \int_0^1 \frac{x+1-1}{x+1} \, dx$$I = \log 2 - \int_0^1 (1 - \frac{1}{x+1}) \, dx$$I = \log 2 - [x - \log(x+1)]_0^1$$I = \log 2 - [(1 - \log 2) - (0 - \log 1)]$$I = \log 2 - 1 + \log 2$$I = 2 \log 2 - 1$.

$\int_0^1 \log (x+1) \, dx =$

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$\int_{\pi / 6}^{\pi / 3} \tan ^{3} x \cdot \sin ^{2} 3 x\left(2 \sec ^{2} x \cdot \sin ^{2} 3 x+3 \tan x \cdot \sin 6 x\right) d x$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_{0}^{\pi /2} \{ x - [\sin x] \} \,dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

माना $\alpha > 0$ है। यदि $\int \limits _0^\alpha \frac{ x }{\sqrt{ x +\alpha}-\sqrt{ x }} dx =\frac{16+20 \sqrt{2}}{15}$ है,तो $\alpha$ का मान ज्ञात कीजिए:

यदि $\int_1^n [x] dx = 120$ है,तो $n = $

यदि $I = \int_0^{100\pi} \sqrt{1 - \cos 2x} \, dx$ है,तो $I$ का मान ज्ञात कीजिए।

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