int frac{(log x-1)^2}{left[1+(log x)^2right]^ | vedclass

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Question

(C) माना $I = \int \frac{(\log x-1)^2}{\left\{1+(\log x)^2\right\}^2} dx$. $\log x = t$ प्रतिस्थापित करने पर,$x = e^t$ और $dx = e^t dt$ प्राप्त होता ह

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$\frac{x}{1+(\log x)^2}+C$

Vedclass · Answer

(C) माना $I = \int \frac{(\log x-1)^2}{\left\{1+(\log x)^2\right\}^2} dx$. $\log x = t$ प्रतिस्थापित करने पर,$x = e^t$ और $dx = e^t dt$ प्राप्त होता है। अतः $I = \int \frac{(t-1)^2}{(1+t^2)^2} e^t dt = \int e^t \left( \frac{t^2-2t+1}{(1+t^2)^2} \right) dt$. हम समाकल्य को इस प्रकार लिख सकते हैं: $\int e^t \left( \frac{t^2+1-2t}{(1+t^2)^2} \right) dt = \int e^t \left( \frac{1}{1+t^2} - \frac{2t}{(1+t^2)^2} \right) dt$. सूत्र $\int e^t (f(t) + f'(t)) dt = e^t f(t) + C$ का उपयोग करने पर,जहाँ $f(t) = \frac{1}{1+t^2}$ और $f'(t) = -\frac{2t}{(1+t^2)^2}$ है। इस प्रकार,$I = e^t \left( \frac{1}{1+t^2} \right) + C$. $t = \log x$ वापस रखने पर,हमें $I = \frac{e^{\log x}}{1+(\log x)^2} + C = \frac{x}{1+(\log x)^2} + C$ प्राप्त होता है।

$\int \frac{(\log x-1)^2}{\left[1+(\log x)^2\right]^2} d x=$ (जहाँ $C$ समाकलन का स्थिरांक है।)

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