समाकल का मान ज्ञात कीजिए: int frac{log x}{(1+ | vedclass

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Question

(B) माना $I = \int \frac{\log x}{(1+\log x)^2} dx$ है। $\log x = t$ प्रतिस्थापित करने पर, जिससे $x = e^t$ और $dx = e^t dt$ प्राप्त होता है। तब $I = \i

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$\frac{x}{1+\log x} + c$

Vedclass · Answer

(B) माना $I = \int \frac{\log x}{(1+\log x)^2} dx$ है। $\log x = t$ प्रतिस्थापित करने पर, जिससे $x = e^t$ और $dx = e^t dt$ प्राप्त होता है। तब $I = \int \frac{t}{(1+t)^2} e^t dt$। अंश को $(t+1-1)$ के रूप में लिखने पर: $I = \int \frac{t+1-1}{(1+t)^2} e^t dt$। $I = \int \left( \frac{1}{1+t} - \frac{1}{(1+t)^2} \right) e^t dt$। मानक समाकल सूत्र $\int e^x [f(x) + f'(x)] dx = e^x f(x) + c$ का उपयोग करने पर, जहाँ $f(t) = \frac{1}{1+t}$ और $f'(t) = -\frac{1}{(1+t)^2}$ है। अतः, $I = e^t \left( \frac{1}{1+t} \right) + c$। $t = \log x$ और $e^t = x$ वापस रखने पर: $I = \frac{x}{1+\log x} + c$।

समाकल का मान ज्ञात कीजिए: $\int \frac{\log x}{(1+\log x)^2} dx$

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$\int e^x \left( \log x + \frac{1}{x} \right) dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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