int {e^x frac{x^2 + 1}{(x + 1)^2} dx} = | vedclass

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Question

(A) हम जानते हैं कि $\int e^x [f(x) + f'(x)] dx = e^x f(x) + c$. दिया गया समाकलन $I = \int e^x \frac{x^2 + 1}{(x + 1)^2} dx$ है। अंश को पुनर्व्यवस्थित

Vedclass · Accepted Answer

$\left( \frac{x - 1}{x + 1} \right) e^x + c$

Vedclass · Answer

(A) हम जानते हैं कि $\int e^x [f(x) + f'(x)] dx = e^x f(x) + c$. दिया गया समाकलन $I = \int e^x \frac{x^2 + 1}{(x + 1)^2} dx$ है। अंश को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $x^2 + 1 = (x^2 - 1) + 2 = (x - 1)(x + 1) + 2$. अतः,$I = \int e^x \left[ \frac{(x - 1)(x + 1)}{(x + 1)^2} + \frac{2}{(x + 1)^2} \right] dx$. $I = \int e^x \left[ \frac{x - 1}{x + 1} + \frac{2}{(x + 1)^2} \right] dx$. मान लीजिए $f(x) = \frac{x - 1}{x + 1}$. तब $f'(x) = \frac{(x + 1)(1) - (x - 1)(1)}{(x + 1)^2} = \frac{x + 1 - x + 1}{(x + 1)^2} = \frac{2}{(x + 1)^2}$. चूंकि समाकलन $\int e^x [f(x) + f'(x)] dx$ के रूप में है,इसलिए परिणाम $e^x f(x) + c$ है। अतः,$I = e^x \left( \frac{x - 1}{x + 1} \right) + c$.

$\int {e^x \frac{x^2 + 1}{(x + 1)^2} dx} = $

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$\int_1^2 {{e^x}\left( {\frac{1}{x} - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)\,dx = } $

यदि $\int e^x\left(\frac{x \sin ^{-1} x}{\sqrt{1-x^2}}+\frac{\sin ^{-1} x}{\left(1-x^2\right)^{3 / 2}}+\frac{x}{1-x^2}\right) d x=g(x)+C$ जहाँ $C$ समाकलन स्थिरांक है,तो $g \left(\frac{1}{2}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए :

$\int {{e^x}[\tan x - \log (\cos x)]\,dx = }$

$\int 3^x \left(f^{\prime}(x) + f(x) \log 3\right) dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int e^{4x}(\sin 3x - \cos 3x) dx = $

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