int e^x left( frac{1 + sin x}{1 + cos x} righ | vedclass

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Question

(B) हम जानते हैं कि $\int e^x [f(x) + f'(x)] dx = e^x f(x) + c$. दिया गया समाकलन $I = \int e^x \left( \frac{1 + \sin x}{1 + \cos x} \right) dx$ है। त्

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$e^x 	an \frac{x}{2}$

Vedclass · Answer

(B) हम जानते हैं कि $\int e^x [f(x) + f'(x)] dx = e^x f(x) + c$. दिया गया समाकलन $I = \int e^x \left( \frac{1 + \sin x}{1 + \cos x} ight) dx$ है। त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करते हुए: $1 + \sin x = 1 + 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$ और $1 + \cos x = 2 \cos^2 \frac{x}{2}$. इन मानों को व्यंजक में रखने पर: $\frac{1 + \sin x}{1 + \cos x} = \frac{1 + 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{2 \cos^2 \frac{x}{2}} = \frac{1}{2 \cos^2 \frac{x}{2}} + \frac{2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{2 \cos^2 \frac{x}{2}} = \frac{1}{2} \sec^2 \frac{x}{2} + 	an \frac{x}{2}$. मान लीजिए $f(x) = 	an \frac{x}{2}$,तो $f'(x) = \sec^2 \frac{x}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \sec^2 \frac{x}{2}$. अतः,समाकलन $\int e^x [f(x) + f'(x)] dx = e^x f(x) + c = e^x 	an \frac{x}{2} + c$ हो जाता है।

$\int e^x \left( \frac{1 + \sin x}{1 + \cos x} \right) dx = $ . . . . . . $+ c$.

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$\int {{e^x}\sin x(\sin x + 2\cos x)} \,dx = $

$x > 0$ के लिए $\int \frac{e^{\tan ^{-1}(x)}}{1+x^2} \left[\left(\sec ^{-1} \sqrt{1+x^2}\right)^2+\cos ^{-1}\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)\right] d x$ का मान है

$\int \frac{e^{\tan ^{-1} x}}{1+x^2}\left[\left(\sec ^{-1} \sqrt{1+x^2}\right)^2+\cos ^{-1}\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)\right] d x, x>0=$

समाकल $\int_{0}^{\infty} e^{-2x} (\sin 2x + \cos 2x) dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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