int frac{log (cot x)}{sin 2 x} ,d x= | vedclass

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Question

(D) माना $I = \int \frac{\log (\cot x)}{\sin 2 x} \,d x$. $\log (\cot x) = t$ रखें। दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{1}{\cot x} \c

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$\frac{-1}{4}(\log (\cot x))^2+c$, जहाँ $c$ समाकलन का स्थिरांक है।

Vedclass · Answer

(D) माना $I = \int \frac{\log (\cot x)}{\sin 2 x} \,d x$. $\log (\cot x) = t$ रखें। दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{1}{\cot x} \cdot (-\csc^2 x) \,d x = dt$. $\Rightarrow \frac{\sin x}{\cos x} \cdot (-\frac{1}{\sin^2 x}) \,d x = dt$. $\Rightarrow \frac{-1}{\sin x \cos x} \,d x = dt$. चूँकि $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$, इसलिए $\sin x \cos x = \frac{\sin 2x}{2}$ होगा। इसे प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{-1}{\frac{\sin 2x}{2}} \,d x = dt \Rightarrow \frac{-2}{\sin 2x} \,d x = dt \Rightarrow \frac{d x}{\sin 2x} = \frac{-dt}{2}$. अब, समाकलन में इन मानों को रखने पर: $I = \int t \cdot (\frac{-dt}{2}) = -\frac{1}{2} \int t \,dt$. $I = -\frac{1}{2} \cdot \frac{t^2}{2} + c = -\frac{1}{4} t^2 + c$. $t = \log (\cot x)$ वापस रखने पर: $I = -\frac{1}{4} [\log (\cot x)]^2 + c$.

$\int \frac{\log (\cot x)}{\sin 2 x} \,d x=$

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यदि $\int \frac{\sin \left(x-\frac{\pi}{4}\right)}{2+\sin 2 x} d x=-\frac{1}{\sqrt{2}} \tan ^{-1}(f(x))+C$ है,तो $f(x)=$

$\int \frac{\cos x - \sin x}{1 + \sin 2x} \, dx = $

$\int \frac{x^5}{\sqrt{1 + x^3}} dx = $

माना $n \geq 2$ के लिए $f(x) = \frac{x}{(1+x^n)^{1/n}}$ और $g(x) = \underbrace{(f \circ f \circ \ldots \circ f)}_{n \text{ बार }}(x)$ है। तो $\int x^{n-2} g(x) \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int \sqrt{2 + \sin 3x} \cdot \cos 3x \, dx = $

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