int cos^{-1} x , dx = | vedclass

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Question

(D) समाकलन $I = \int \cos^{-1} x \, dx$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम खंडशः समाकलन (integration by parts) विधि का उपयोग करते हैं: $\int u \, dv = uv - \

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$x \cos^{-1} x - \sqrt{1-x^2} + c$

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(D) समाकलन $I = \int \cos^{-1} x \, dx$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम खंडशः समाकलन (integration by parts) विधि का उपयोग करते हैं: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$.माना $u = \cos^{-1} x$ और $dv = dx$.तब $du = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$ और $v = x$ प्राप्त होता है।सूत्र का उपयोग करने पर: $I = x \cos^{-1} x - \int x \left( -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \right) \, dx$.$I = x \cos^{-1} x + \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$.$\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$ को हल करने के लिए,माना $t = 1-x^2$,इसलिए $dt = -2x \, dx$ या $x \, dx = -\frac{1}{2} \, dt$.यह समाकलन $\int \frac{-1/2}{\sqrt{t}} \, dt = -\frac{1}{2} \int t^{-1/2} \, dt = -\frac{1}{2} \left( \frac{t^{1/2}}{1/2} \right) = -\sqrt{t} = -\sqrt{1-x^2}$ बन जाता है।अतः,$I = x \cos^{-1} x - \sqrt{1-x^2} + c$।

$\int \cos^{-1} x \, dx =$

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$\int {32{x^3}{{(\log x)}^2}dx} $ का मान ज्ञात कीजिए।

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