lim _{n rightarrow infty}left[frac{1^3}{1-n^4 | vedclass

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Question

(D) दी गई अभिव्यक्ति $S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{k^3}{1-n^4}$ है।चूंकि हर $(1-n^4)$ योग सूचकांक $k$ से स्वतंत्र है,हम लिख सकते हैं:$S_n = \frac{1}{1-n

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$-\frac{1}{4}$

Vedclass · Answer

(D) दी गई अभिव्यक्ति $S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{k^3}{1-n^4}$ है।चूंकि हर $(1-n^4)$ योग सूचकांक $k$ से स्वतंत्र है,हम लिख सकते हैं:$S_n = \frac{1}{1-n^4} \sum_{k=1}^{n} k^3$.घनों के योग के सूत्र का उपयोग करते हुए,$\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$.अतः,$S_n = \frac{n^2(n+1)^2}{4(1-n^4)}$.अंश का विस्तार करने पर: $S_n = \frac{n^2(n^2+2n+1)}{4(1-n^4)} = \frac{n^4+2n^3+n^2}{4-4n^4}$.अब,$n \rightarrow \infty$ सीमा लेने पर:$\lim _{n \rightarrow \infty} S_n = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n^4+2n^3+n^2}{4-4n^4}$.अंश और हर को $n^4$ से विभाजित करने पर:$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2}}{\frac{4}{n^4}-4} = \frac{1+0+0}{0-4} = -\frac{1}{4}$.

$\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{1^3}{1-n^4}+\frac{2^3}{1-n^4}+\ldots +\frac{n^3}{1-n^4}\right]=$

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यदि $x > 2$ के लिए $g(x) = \frac{x}{[x]}$ है,तो $\lim_{x \rightarrow 2^+} \frac{g(x) - g(2)}{x - 2}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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