एक यादृच्छिक चर X मान 0, 1, 2, 3, ldots लेता | vedclass

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Question

(A) हम जानते हैं कि प्रायिकता वितरण में सभी प्रायिकताओं का योग $1$ होता है,इसलिए $\sum_{x=0}^{\infty} P(X=x) = 1$.दिए गए व्यंजक को प्रतिस्थापित करने प

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$\frac{16}{25}$

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(A) हम जानते हैं कि प्रायिकता वितरण में सभी प्रायिकताओं का योग $1$ होता है,इसलिए $\sum_{x=0}^{\infty} P(X=x) = 1$.दिए गए व्यंजक को प्रतिस्थापित करने पर: $k \sum_{x=0}^{\infty} (x+1) \left(\frac{1}{5}ight)^x = 1$.श्रेणी का विस्तार करने पर: $k \left[ 1 + 2\left(\frac{1}{5}ight) + 3\left(\frac{1}{5}ight)^2 + 4\left(\frac{1}{5}ight)^3 + \ldots ight] = 1$.यह एक अंकगणितीय-ज्यामितीय श्रेणी है जिसका रूप $\sum_{n=0}^{\infty} (a+nd)r^n = \frac{a}{1-r} + \frac{dr}{(1-r)^2}$ है,जहाँ $a=1, d=1, r=\frac{1}{5}$.योग की गणना करने पर: $k \left[ \frac{1}{1-\frac{1}{5}} + \frac{1 	imes \frac{1}{5}}{(1-\frac{1}{5})^2} ight] = 1$.$k \left[ \frac{5}{4} + \frac{1/5}{16/25} ight] = 1 \Rightarrow k \left[ \frac{5}{4} + \frac{5}{16} ight] = 1$.$k \left[ \frac{20+5}{16} ight] = 1 \Rightarrow k \left( \frac{25}{16} ight) = 1 \Rightarrow k = \frac{16}{25}$.अब,$P(X=0) = k(0+1)\left(\frac{1}{5}ight)^0 = k(1)(1) = k$.अतः,$P(X=0) = \frac{16}{25}$.

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