એક દ્વિપદી યાદચ્છિક ચલ $X$ માટે જ્યારે $n=6$ હોય ત્યારે $9 \cdot P(X=4) = P(X=2)$ નું સમાધાન થાય છે. તો $p$ ની કિંમત શોધો.

$8$ પ્રશ્નો ધરાવતી બહુવિકલ્પ કસોટીમાં,દરેક પ્રશ્નના ચાર વિકલ્પો છે. દરેક પ્રશ્ન માટે,ચાર વિકલ્પોમાંથી બરાબર એક વિકલ્પ સાચો જવાબ છે. એક વિદ્યાર્થી દરેક પ્રશ્ન માટે એક વિકલ્પ પસંદ કરીને બધા પ્રશ્નોના જવાબ આપે છે. વિદ્યાર્થી બરાબર $5$ સાચા જવાબો મેળવી શકે તેટલી રીતોની સંખ્યા કેટલી છે?

$5$ સ્વતંત્ર બર્નેલી પ્રયત્નો ધ્યાનમાં લો,જેમાં દરેક પ્રયત્નમાં સફળતાની સંભાવના $p$ છે. જો ઓછામાં ઓછી એક નિષ્ફળતાની સંભાવના $31/32$ કરતા મોટી અથવા તેના જેટલી હોય,તો $p$ કયા અંતરાલમાં હશે?

ધારો કે એક મશીન ધાતુના ભાગો બનાવે છે જેમાં ખામીયુક્ત ભાગો હોવાની સંભાવના $0.05$ છે. ઓછામાં ઓછો એક ભાગ ખામીયુક્ત હોય તેની સંભાવના $1/2$ થી વધુ હોય તે માટે કેટલા ભાગોનું ઉત્પાદન કરવું જોઈએ? (આપેલ છે કે, $\log_{10} 95 = 1.977$ અને $\log_{10} 2 = 0.3$)

જો બર્નુલી પ્રયત્ન $n$ વખત કરવામાં આવે,તો નીચેનામાંથી કયું પોઈસન વિતરણનો ઉપયોગ કરવા માટે યોગ્ય નથી?
$(i)$ દરેક પ્રયત્ન બે પરસ્પર નિવારક પરિણામોમાં પરિણમે છે,એટલે કે સફળતા,નિષ્ફળતા.
(ii) આવા પ્રયત્નોની સંખ્યા $n$ પૂરતી મોટી છે.
(iii) પ્રયત્નો એકબીજાથી સ્વતંત્ર છે.
(iv) દરેક પ્રયત્નમાં સફળતાની સંભાવના $p$ ખૂબ મોટી છે.

$52$ પત્તાંના સારી રીતે ચીપેલા પેકમાંથી બદલી સાથે ક્રમશઃ બે પત્તાં ખેંચવામાં આવે છે. તો જેકની સંખ્યાનું સંભાવના વિતરણ શું છે?