$L$ लंबाई और $Q$ समान रैखिक द्रव्यमान घनत्व वाले एक पतले धातु के तार को $O$ केंद्र वाली एक वृत्ताकार कुंडली में मोड़ा जाता है। $XX'$ अक्ष के परितः कुंडली का जड़त्व आघूर्ण क्या है?

$(a)$ लंब अक्षों के प्रमेय को सिद्ध कीजिए। (संकेत: $x-y$ तल में एक बिंदु $(x, y)$ की मूल बिंदु से गुजरने वाली और तल के लंबवत अक्ष से दूरी का वर्ग $x^{2}+y^{2}$ है)
$(b)$ समांतर अक्षों के प्रमेय को सिद्ध कीजिए। (संकेत: यदि $n$ कणों के निकाय के द्रव्यमान केंद्र को मूल बिंदु माना जाए,तो $\sum m_{i} r_{i}=0$)

$l$ लंबाई और $R$ त्रिज्या वाले एक समान बेलन की उसके लंब समद्विभाजक के परितः जड़त्व आघूर्ण $I$ है। $l/R$ का अनुपात क्या होगा ताकि जड़त्व आघूर्ण न्यूनतम हो?

$L$ लंबाई के एक पतले तार का रैखिक द्रव्यमान घनत्व $\rho$ है। इसे केंद्र $O$ वाले एक वृत्ताकार लूप में मोड़ा जाता है। चित्र में दिखाए अनुसार $XX'$ अक्ष के परितः वृत्ताकार लूप का जड़त्व आघूर्ण ज्ञात कीजिए।

$m$ द्रव्यमान और $a$ भुजा वाली एक वर्गाकार प्लेट का उसके तल के लंबवत और उसके एक कोने से होकर गुजरने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $\alpha \,ma^2$ है। तब $\alpha$ का मान क्या है?

$L$ लंबाई और समान रैखिक द्रव्यमान घनत्व $\rho$ के एक पतले तार को चित्रानुसार $O$ केंद्र वाले एक वृत्ताकार लूप में मोड़ा गया है। $XX'$ अक्ष के परितः लूप का जड़त्व आघूर्ण क्या होगा?