int_0^1 frac{dx}{(3x+2)+sqrt{3x+2}} = . . . | vedclass

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Question

(C) माना $I = \int_0^1 \frac{dx}{(3x+2)+\sqrt{3x+2}}$.$u = \sqrt{3x+2}$ प्रतिस्थापन करने पर,$u^2 = 3x+2$ प्राप्त होता है,अतः $2u du = 3 dx$ जिसका अर्थ

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$\frac{2}{3} \log \left|\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{2}+1}\right|$

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(C) माना $I = \int_0^1 \frac{dx}{(3x+2)+\sqrt{3x+2}}$.$u = \sqrt{3x+2}$ प्रतिस्थापन करने पर,$u^2 = 3x+2$ प्राप्त होता है,अतः $2u du = 3 dx$ जिसका अर्थ है $dx = \frac{2}{3} u du$.जब $x=0$ है,तब $u = \sqrt{2}$ और जब $x=1$ है,तब $u = \sqrt{5}$ है।इन मानों को समाकलन में रखने पर:$I = \int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{5}} \frac{\frac{2}{3} u du}{u^2+u} = \frac{2}{3} \int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{5}} \frac{u du}{u(u+1)} = \frac{2}{3} \int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{5}} \frac{du}{u+1}$.समाकलन करने पर,$I = \frac{2}{3} [\log |u+1|]_{\sqrt{2}}^{\sqrt{5}}$ प्राप्त होता है।$I = \frac{2}{3} (\log |\sqrt{5}+1| - \log |\sqrt{2}+1|) = \frac{2}{3} \log \left|\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{2}+1}\right|$.अतः,सही विकल्प $C$ है।

$\int_0^1 \frac{dx}{(3x+2)+\sqrt{3x+2}} = $ . . . . . . .

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