int frac{1}{e^x+1} dx = . . . . . . + C. | vedclass

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Question

(A) समाकलन $I = \int \frac{1}{e^x+1} dx$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम समाकल्य को इस प्रकार लिख सकते हैं:$I = \int \frac{1}{e^x(1 + e^{-x})} dx = \int \

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$\log \left|\frac{e^x}{e^x+1}\right|$

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(A) समाकलन $I = \int \frac{1}{e^x+1} dx$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम समाकल्य को इस प्रकार लिख सकते हैं:$I = \int \frac{1}{e^x(1 + e^{-x})} dx = \int \frac{e^{-x}}{1 + e^{-x}} dx$.मान लीजिए $u = 1 + e^{-x}$. तब $du = -e^{-x} dx$,जिसका अर्थ है $e^{-x} dx = -du$.इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:$I = \int \frac{-du}{u} = -\log |u| + C = -\log |1 + e^{-x}| + C$.हम इसे इस प्रकार सरल कर सकते हैं:$I = -\log \left| \frac{e^x + 1}{e^x} \right| + C = -(\log |e^x + 1| - \log |e^x|) + C = -\log |e^x + 1| + x + C$.वैकल्पिक रूप से,$I = \int \frac{1}{e^x+1} dx = \int \frac{e^x+1-e^x}{e^x+1} dx = \int (1 - \frac{e^x}{e^x+1}) dx = x - \log |e^x+1| + C$.चूंकि $x = \log(e^x)$,इसलिए $I = \log(e^x) - \log |e^x+1| + C = \log \left| \frac{e^x}{e^x+1} \right| + C$.अतः,सही विकल्प $A$ है।

$\int \frac{1}{e^x+1} dx = $ . . . . . . $+ C$.

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