int sqrt{x^{2}+2 x+5} , dx का मान ज्ञात कीज | vedclass

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Question

(A) हमें समाकलन $ I = \int \sqrt{x^{2}+2 x+5} \, dx $ का मान ज्ञात करना है। सबसे पहले,द्विघात व्यंजक को पूर्ण वर्ग में बदलें: $ x^{2}+2x+5 = (x+1)^{2}

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$ \frac{1}{2}(x+1) \sqrt{x^{2}+2 x+5}+2 \log \left|x+1+\sqrt{x^{2}+2 x+5}\right|+C $

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(A) हमें समाकलन $ I = \int \sqrt{x^{2}+2 x+5} \, dx $ का मान ज्ञात करना है। सबसे पहले,द्विघात व्यंजक को पूर्ण वर्ग में बदलें: $ x^{2}+2x+5 = (x+1)^{2} + 4 = (x+1)^{2} + 2^{2} $. अब समाकलन $ I = \int \sqrt{(x+1)^{2} + 2^{2}} \, dx $ हो जाता है। मानक सूत्र $ \int \sqrt{t^{2}+a^{2}} \, dt = \frac{t}{2} \sqrt{t^{2}+a^{2}} + \frac{a^{2}}{2} \log \left|t + \sqrt{t^{2}+a^{2}}\right| + C $ का उपयोग करते हुए,जहाँ $ t = x+1 $ और $ a = 2 $ है। इन मानों को रखने पर: $ I = \frac{x+1}{2} \sqrt{(x+1)^{2} + 2^{2}} + \frac{2^{2}}{2} \log \left|(x+1) + \sqrt{(x+1)^{2} + 2^{2}}\right| + C $. व्यंजक को सरल करने पर: $ I = \frac{1}{2}(x+1) \sqrt{x^{2}+2x+5} + 2 \log \left|x+1 + \sqrt{x^{2}+2x+5}\right| + C $. अतः,सही विकल्प $ A $ है।

$ \int \sqrt{x^{2}+2 x+5} \, dx $ का मान ज्ञात कीजिए।

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$\begin{aligned} & \text{यदि } 5(f(x))^2 = x f(x) + 30 \text{ और } \\ & \int \frac{3 x^3 + (1 - 30 x^2) f(x)}{(10 f(x) - x)(x^3 - f(x))^2} dx \\ & = \frac{A}{B x^3 + D f(x)} + C, \text{ तो } A + B + D = \end{aligned}$

यदि $\int \sin ^{-1}\left(\sqrt{\frac{x}{1+x}}\right) d x=A(x) \tan ^{-1}(\sqrt{x})+B(x)+C$ है,जहाँ $C$ समाकलन का एक स्थिरांक है,तो क्रमित युग्म $(A(x), B(x))$ क्या हो सकता है?

यदि $f(x) = \int \left[ \tan^2 x + \cot^2 x + \frac{4(\sin^3 x + \cos^3 x)}{\sin^2 2x} \right] dx$ और $f\left(\frac{\pi}{4}\right) = 0$ है, तो $3 \left[ f\left(\frac{\pi}{6}\right) + 2 \right] = $

यदि $\int {\frac{{{x^4} + 1}}{{x{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}} dx = A \ln |x| + \frac{B}{{1 + {x^2}}} + c$,जहाँ $c$ समाकलन का स्थिरांक है,तो:

मान लीजिए $f(x)=7 \tan^8 x + 7 \tan^6 x - 3 \tan^4 x - 3 \tan^2 x$ के लिए,$I_1 = \int_0^{\pi/4} f(x) \, dx$ और $I_2 = \int_0^{\pi/4} x f(x) \, dx$ है। तो $7 I_1 + 12 I_2$ का मान ज्ञात कीजिए:

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