int_{0}^{pi / 4} log left(frac{sin x+cos x}{ | vedclass

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Question

(C) माना $I = \int_{0}^{\pi / 4} \log \left(\frac{\sin x+\cos x}{\cos x}\right) d x$ है। समाकल्य को सरल करने पर,हमें $I = \int_{0}^{\pi / 4} \log (1+\

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$ \frac{\pi}{8} \log 2 $

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(C) माना $I = \int_{0}^{\pi / 4} \log \left(\frac{\sin x+\cos x}{\cos x}ight) d x$ है। समाकल्य को सरल करने पर,हमें $I = \int_{0}^{\pi / 4} \log (1+	an x) d x$ प्राप्त होता है। गुणधर्म $\int_{0}^{a} f(x) d x = \int_{0}^{a} f(a-x) d x$ का उपयोग करने पर: $I = \int_{0}^{\pi / 4} \log \left(1+	an \left(\frac{\pi}{4}-xight)ight) d x$। चूंकि $	an(\frac{\pi}{4}-x) = \frac{1-	an x}{1+	an x}$,इसलिए समाकलन इस प्रकार होगा: $I = \int_{0}^{\pi / 4} \log \left(1+\frac{1-	an x}{1+	an x}ight) d x = \int_{0}^{\pi / 4} \log \left(\frac{2}{1+	an x}ight) d x$। गुणधर्म $\log(\frac{a}{b}) = \log a - \log b$ का उपयोग करने पर: $I = \int_{0}^{\pi / 4} \log 2 d x - \int_{0}^{\pi / 4} \log (1+	an x) d x$। $I = \log 2 [x]_{0}^{\pi / 4} - I$। $2I = \frac{\pi}{4} \log 2$। अतः,$I = \frac{\pi}{8} \log 2$।

$ \int_{0}^{\pi / 4} \log \left(\frac{\sin x+\cos x}{\cos x}\right) d x $

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