int_{frac{-3pi}{2}}^{frac{-pi}{2}} left[ (x+p | vedclass

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Question

(C) माना $I = \int_{-\frac{3\pi}{2}}^{-\frac{\pi}{2}} \left[ (x+\pi)^3 + \cos^2(x+3\pi) \right] dx$. $t = x + \pi$ प्रतिस्थापित करने पर,$dt = dx$ प्रा

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$\frac{\pi}{2}$

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(C) माना $I = \int_{-\frac{3\pi}{2}}^{-\frac{\pi}{2}} \left[ (x+\pi)^3 + \cos^2(x+3\pi) \right] dx$. $t = x + \pi$ प्रतिस्थापित करने पर,$dt = dx$ प्राप्त होता है। जब $x = -\frac{3\pi}{2}$,तब $t = -\frac{\pi}{2}$। जब $x = -\frac{\pi}{2}$,तब $t = \frac{\pi}{2}$। चूंकि $\cos(x+3\pi) = \cos(x+\pi) = -\cos x$,इसलिए $\cos^2(x+3\pi) = \cos^2 x$ होगा। अतः,$I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} (t^3 + \cos^2 t) dt$. $t^3$ एक विषम फलन है और $\cos^2 t$ एक सम फलन है,इसलिए $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} t^3 dt = 0$ होगा। अतः,$I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 t dt = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 t dt$. सर्वसमिका $\cos^2 t = \frac{1 + \cos 2t}{2}$ का उपयोग करने पर,$I = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 + \cos 2t}{2} dt = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1 + \cos 2t) dt$. समाकलन करने पर: $[t + \frac{\sin 2t}{2}]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = (\frac{\pi}{2} + 0) - (0 + 0) = \frac{\pi}{2}$.

$\int_{\frac{-3\pi}{2}}^{\frac{-\pi}{2}} \left[ (x+\pi)^3 + \cos^2(x+3\pi) \right] dx = $

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